Sáng kiến kinh nghiệm Một số giải pháp nâng cao kỹ năng giải toán hình học không gian cho học sinh lớp 11

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRUNG TÂM GDTX TRIỆU SƠN
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MỘT SỐ GIẢI PHÁP NÂNG CAO KỸ NĂNG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CHO HỌC SINH LỚP 11
 Người thực hiện: Lê Hữu Hải.
 Chức vụ: Giáo viên.
 SKKN thuộc lĩnh vực : Toán học.
THANH HOÁ NĂM 2016
MỤC LỤC
 Trang
A. MỞ ĐẦU	
I. Lý do chọn đề tài.	 1	
II. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.	 1
III . Mục đích và phương pháp nghiên cứu.	 1 
B. NỘI DUNG	 	
I. Cơ sơ lý luận.	 2
II. Cơ sở thực tiễn. 	 2
III. Biện pháp giải quyết vấn đề	.	 2
 1. Dạng 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (b). 3
 2. Dạng 2 : Tìm giao điểm của đường thẳng d và mp(α). 5
 3. Dạng 3: Chứng minh đường thẳng d song song với mp(α). 9
 4. Dạng 4 : Chứng minh hai mp(α) và mp(b) song song nhau. 10
IV. Hiệu Quả Của Sáng Kiến Kinh Nghiệm. 13
C. KẾT LUẬN 	
I. Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm. 14
II. Khả năng ứng dụng. 14
III. Bài học kinh nghiệm, hướng phát triển. 14
IV. Kiến nghị, đề xuất. 14	 
A. MỞ ĐẦU
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI. 
Trong môn toán ở trường phổ thông phần hình học không gian giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng. Ngoài việc cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ năng giải toán hình học không gian, còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của con người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư duy sáng tạo cho học sinh. 
Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh lớp 11 cơ bản rất e ngại học môn hình học không gian vì các em nghĩ rằng nó trừu tượng, thiếu tính thực tế. Chính vì thế mà có rất nhiều học sinh học yếu môn học này, về phần giáo viên cũng gặp không ít khó khăn khi truyền đạt nội dung kiến thức và phương pháp giải các dạng bài tập hình học không gian. Qua nhiều năm giảng dạy môn học này tôi cũng đúc kết được một số kinh nghiệm nhằm giúp các em tiếp thu kiến thức được tốt hơn, từ đó mà chất lượng giảng dạy cũng như học tập của học sinh ngày được nâng lên. Do đây là phần nội dung kiến thức mới nên nhiều học sinh còn chưa quen với tính tư duy trừu tượng của nó, nên tôi nghiên cứu nội dung này nhằm tìm ra những phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh cũng nhằm tháo gỡ những vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường gặp phải với mong muốn nâng dần chất lượng giảng dạy nói chung và môn hình học không gian nói riêng.
Điểm mới trong kết quả nghiên cứu là tính thực tiễn và tính hệ thống, không áp đặt hoặc lập khuôn máy móc do đó học sinh dễ dàng áp dụng vào việc giải quyết các bài toán lạ, các bài toán khó.
Từ lý do trên tôi đã khai thác, hệ thống hóa các kiến thức, tổng hợp các phương pháp thành một chuyên đề: “Một Số Giải Pháp Nâng Cao Kỹ Năng Giải Toán Hình Học Không Gian Cho Học Sinh Lớp 11 cơ bản ” 
II. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU.
Đối tượng nghiên cứu trong đề tài là học sinh lớp 11 cơ bản.
Phạm vi nghiên cứu của đề tài là: “ Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song ” sách giáo khoa hình học 11 ban cơ bản.
III. MỤC ĐÍCH VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.
Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh lớp 11 cơ bản có thêm một số kỹ năng cơ bản, phương pháp chứng minh một số dạng toán trong không gian. Học sinh thông hiểu và trình bày bài toán đúng trình tự, đúng logic, không mắc sai lầm khi làm bài tập. Hy vọng với đề tài nhỏ này sẽ giúp các em học sinh có cơ sở, phương pháp giải một số bài toán bắt buộc trong sách giáo khoa Hình học lớp 11 cơ bản, cũng như cung cấp cho giáo viên một số nội dung giảng dạy môn hình học không gian lớp 11 một cách có hiệu quả hơn.
Phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu lí luận chung; khảo sát điều tra thực tế dạy và học; tổng hợp so sánh, đút rút kinh nghiệm; trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ‎ý kiến đồng nghiệp.
B. NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÍ LUẬN.
Khi giải một bài toán về chứng minh quan hệ song song trong hình học không gian, ta phải đọc kỹ đề, phân tích giả thuyết, kết luận, vẽ hình đúng,  Ta cần phải chú ‎ý đến các yếu tố khác: Vẽ hình như thế tốt chưa? Cần xác định thêm các yếu tố nào trên hình không? Để giải quyết vấn đề ta xuất phát từ đâu? Nội dung kiến thức nào liên quan đến bài toán, .có như thế mới giúp ta giải quyết được nhiều bài toán mà không gặp khó khăn. Ngoài ra ta còn phải nắm vững kiến thức trong hình học phẳng, phương pháp chứng minh cho từng dạng toán: tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng, chứng minh hai đường thẳng song song, hai mặt phẳng song song, đường thẳng song song với mặt phẳng. 
II. CƠ SỞ THỰC TIỄN.
Qua quá trình giảng dạy tôi nhận thấy nhiều học sinh khi gặp các bài toán về chứng minh quan hệ song song trong hình học không gian các em học sinh không biết vẽ hình, còn lúng túng, không phân loại được các dạng toán, chưa định hướng được cách giải. Trong khi đó bài toán liên quan đến chứng minh quan hệ song song trong hình học không gian có rất nhiều dạng bài tập khác nhau, nhưng chương trình hình học không gian 11 không nêu cách giải tổng quát cho từng dạng, bên cạnh đó thời lượng dành cho tiết luyện tập là rất ít. Qua việc khảo sát định kỳ nhận thấy nhiều học sinh trình bày lời giải chưa lôgic hoặc không làm được bài tập liên quan đến chứng minh quan hệ song song trong hình học không gian.
Khi giải các bài toán hình học không gian các giáo viên và học sinh thường gặp một số khó khăn với nguyên nhân như sau: Học sinh cần phải có trí tưởng tượng không gian tốt; Học sinh quen với hình học phẳng nên khi học các khái niệm của hình không gian hay nhầm lẫn, chưa biết vận dụng các tính chất của hình học phẳng cho hình không gian; Một số bài toán không gian thì các mối liên hệ giữa giả thiết và kết luận chưa rõ ràng làm cho học sinh lúng túng trong việ định hướng cách giải; Bên cạnh đó còn có nguyên nhân như các em chưa xác định đúng động cơ học tập. 
Từ những nguyên nhân trên tôi mạnh dạn đưa ra một số giải pháp nhằm nâng cao kỹ năng giải toán hình học không gian cho học sinh lớp 11 cơ bản
III. BIỆN PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.
Để giải được bài hình học tốt cần có một số giải pháp tăng cường kỹ năng kiến thức cho học sinh đó là:
Vẽ hình đúng – trực quan nó gợi mở và tạo điều kiện thuận lợi cho việc giải các bài toán và phát huy trí tưởng tượng không gian, phát huy tính tích cực và niềm say mê học tập của học sinh. Vẽ đúng – trực quan hình vẽ giúp học sinh tránh được các sai lầm đáng tiếc. Tăng cường vấn đáp nhằm giúp học sinh hiểu rõ các khái niệm trong hình học không gian như : hình chóp; tứ diện; hình chóp đều; hình lăng trụ; hình hộp; hình hộp chữ nhật; .; quan hệ song song của hai đường thẳng; hai mặt phẳng; đường thẳng và mặt phẳng,
Sử dụng đồ dùng dạy học một cách hợp lý như các mô hình trong không gian, các phần mềm giảng dạy như: Cabir, GSP, ..
Dạy học theo các chủ đề, các dạng toán, mạch kiến thức mà giáo viên phân chia từ khối lượng kiến thức cơ bản của chương trình nhằm giúp học sinh hiểu sâu các kiến thức mà mình đang có, vận dụng chúng một cách tốt nhất. 
1. Dạng 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (b).
Phương pháp: 
Cách 1: Xác định hai điểm chung của hai mặt phẳng.
	 Nếu thì 
	Hình 1
Cách 2: Xác định một điểm chung và song song 
với một đường thẳng
Dựa vào các định l‎ý sau:
* Định lý 2:(SGK trang 57) Nếu thì	 
* Hệ quả: Nếu 	 thì	 	 
 Hình 2	 Hình 3	Hình 4
* Định lý 2: (SGK trang 61) Nếu thì a // b (hình 5)
* Hệ quả : Nếu thì a // d 	(hình 6)
* Định lý 3: Nếu thì 	 (hình 7) 
	Hình 5	 Hình 6	 Hình 7
* Nhận xét: Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ta ưu tiên cho cách 1 là tìm hai điểm chung lần lượt nằm trên hai mặt phẳng đó bằng cách dựa vào hình vẽ. Nếu hình vẽ chỉ có một điểm chung thì ta chuyển sang cách hai (dựa vào các định lý và hệ quả trên)
1.1. Ví dụ
Bài 1: Trong mp(α) cho tứ giác ABCD có AB và CD cắt nhau tại E, AC và BD cắt nhau tại F. Gọi S là một điểm nằm ngoài mp(α). Tìm giao tuyến của các mp sau:
a) mp(SAC) và mp(SBD)
b) mp(SAB) và mp(SCD)
c) mp(SEF) và mp(SAD)
Nhận xét: 	Với câu a, b học sinh dễ dàng tìm được giao tuyến. 
Với câu c: GV cần gợi ý cho HS phát hiện ra được điểm chung thứ hai.
	Lời giải:
a) Ta có S Î (SAC) Ç (SBD) (1) ; F =ACÇBD Þ FÎ(SAC)Ç(SBD) (2) 
	Từ (1) và (2) suy ra : SF = (SAC) Ç (SBD).
b) Ta có S Î (SAB) Ç (SCD) (1) ;E=ABÇCDÞ E Î(SAB)Ç (SCD) (2) 
	Từ (1) và (2) suy ra : SE = (SAB) Ç (SCD).
c) Trong mp(ADE) kéo dài EF cắt AD tại N.
 Xét hai mp(SAD) và (SEF) có:
 S Î (SAD) Ç (SEF) ; N Î (SAD) Ç (SEF) 
 Vậy : SN = (SAD) Ç (SEF). 	 
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thang(AB// CD).
a) Tìm giao tuyến của hai mp(SAD) và (SBC).
b) Tìm giao tuyến của hai mp(SAB) và (SDC).
Lời giải:
a) Ta có S là điểm chung thứ nhất.
	Trong mp(ABCD) có AD cắt BC tại E
Suy ra : SE = (SAD) Ç (SBC).
b) Ta có S là điểm chung thứ nhất.
	Lại có: 
Bài 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là trung điểm của AD và BC.
a) Tìm giao tuyến của hai mp(IBC) và (JAD).
b) M là một điểm trên đoạn AB, N là một điểm trên đoạn AC. Tìm giao tuyến của 2 mp(IBC) và (DMN).
Lời giải:
a) Ta có: I Î AD Þ I Î (JAD). Vậy I là điểm chung của 2 mp(IBC) và (JAD) (1) 
 Ta có: J Î BC Þ J Î (IBC). Vậy J là điểm chung của 2 mp(IBC) và (JAD) (2) 
 Từ (1) và (2) ta có : IJ = (IBC) Ç (JAD).
b) Trong mp(ACD) có : CI cắt DN tại E.
 Vậy E là điểm chung của hai mp(IBC) và (DMN). (3) 
 Trong mp(ABD) có : BI cắt DM tại F.
 Vậy F là điểm chung của hai mp(IBC) và (DMN). (4) 
 Từ (3) và (4) ta có : EF = (IBC) Ç (DMN).
2. Dạng 2 : Tìm giao điểm của đường thẳng d và mp(α).
Đây là dạng bài toán cơ bản trong hình học không gian, từ bài toán này xây dựng được các bài toán liên quan đến xác định thiết diện từ đó có thể nâng cao để giải các bài toán tính diện tích, thể tích của thiết diện.
 Hình 8	Hình 9
Phương pháp :
* Muốn tìm giao điểm của đường thẳng d với mp(α) ta tìm giao điểm của đường thẳng d với một đường thẳng a nằm trên mp(α).	 (hình 8) 
Tóm tắt : Nếu thì A = d Ç (α) 
* Chú ý: Nếu đường thẳng a chưa có trên hình vẽ thì ta tìm a như sau:
	- Tìm mp(b) chứa d sao cho mp(b) cắt mp(α).
	- Tìm giao tuyến a của hai mp(α) và mp(b).	(hình 9)
* Nhận xét : Vấn đề của bài toán là xác định cho được đường thẳng a. Nhiệm vụ của giáo viên là hướng dẫn, gợi mở cho học sinh biết cách tìm đường thẳng a và chọn mp(b) sao cho phù hợp với từng yêu cầu của bài toán trong trường hợp đường thẳng a chưa có trên hình vẽ.
2.1. Ví dụ : 
Bài 1 : Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và AD sao cho . Tìm giao điểm của đường thẳng IJ với mp(BCD).
Nhận xét : - HS dễ dàng phát hiện ra đường thẳng a chính là đường thẳng BD.
 - GV cần lưu ý cho học sinh điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng phải cùng nằm trên một mặt phẳng và không song song.
Lời giải :
Trong DABD có : và , suy ra IJ không song song BD. 
Gọi 
Vậy K = IJ Ç (BCD).
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB // CD). Gọi I, J lần lượt là trung điểm của SA và SB, M là điểm tùy ý thuộc đoạn SD.
a) Tìm giao điểm của đường thẳng BM với mp(SAC)
b) Tìm giao điểm của đường thẳng IM với mp(SBC)
c) Tìm giao điểm của đường thẳng SC với mp(IJM)
Nhận xét: 
Câu a. - HS dễ nhầm lẫn đường BM cắt SC. Không nhìn ra được đường thẳng nào nằm trong mp(SAC) để cắt được BM. 
	 - GV gợi ý cho HS biết chọn mp phụ chứa BM đó là mp(SBD) và xác định giao tuyến của 2mp(SBD) và (SAC). 
Câu b. - HS gặp khó khăn khi không nhìn ra được đường nào nằm trong mp(SBC) để cắt IM. 	
	 - GV cần hướng dẫn HS chọn 1 mp phụ thích hợp chứa IM 
Câuc 
- Tương tự câu a) ta cần chọn mp phụ chứa SC và tìm giao tuyến của mp đó với mp(IJM). Có mp nào chứa SC? 
 - GV hướng dẫn HS chọn mp nào cho việc tìm giao tuyến với (IJM) thuận lợi
Lời giải:
a) Ta có BM Ì (SBD)
Xét 2 mp(SAC) và (SBD) có S là điểm chung thứ nhất (1)
Gọi O = AC Ç BD Þ O là điểm chung thứ hai (2) 
Từ (1) và (2) Þ SO = (SAC) Ç (SBD).
Trong mp(SBD) có BM cắt SO tại P. Vậy P = BM Ç (SAC).
b) Ta có IM Ì (SAD)
Xét hai mp(SAD) và (SBC) có: S là điểm chung thứ nhất 
Gọi E = AD Ç BC Þ E là điểm chung thứ hai
Þ SE = (SAD) Ç (SBC).
Trong mp(SAE) có IM cắt SE tại F. Vậy F = IM Ç (SBC) 
c) Ta có SC Ì (SBC)
Xét 2 mp(IJM) và (SBC) ta có : JF = (IJM) Ç (SBC)
Trong mp(SBE) có JF cắt SC tại H. Vậy H = SC Ç (IJM).
Bài 3 : Cho hình chóp S.ABCD có AB và CD không song song. Gọi M là điểm thuộc miền trong của DSCD.
a) Tìm giao điểm N của đường thẳng CD và mp(SBM)
b) Tìm giao tuyến của hai mp(SBM) và (SAC)
c) Tìm giao điểm I của đường thẳng BM và mp(SAC)
d) Tìm giao điểm P của đường thẳng SC và mp(ABM), từ đó suy ra giao tuyến của hai mp(SCD) và (ABM).
e) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(ABM).
Lời giải :
a) Trong mp(SCD) có SM cắt CD tại N.
b) Trong mp(ABCD)
 ta có: ACÇ BD = O
c) Trong mp(SBN), ta có BM cắt SO tại I.
Mà SO Ì (SAC) 
Þ I = BM Ç (SAC).
d) Trong mp(SAC), ta có SC cắt AI tại P
Mà AI Ì (ABM) Þ P = SC Ç (ABM)
Trong mp(SCD), ta có PM cắt SD tại K.
e) Ta có : 	(ABM) Ç (ABCD) = AB;
 (ABM) Ç (SBC) = BP
 (ABM) Ç (SCD) = PK;
 (ABM) Ç (SAD) = KA
Vậy tứ giác ABPK là thiết diện cần tìm.
2.2. Bài tập rèn luyện :
Bài 1 : Cho hình bình hành ABCD nằm trên mp(P) và một điểm S nằm ngoài mp(P). Gọi M là điểm nằm giữa S và A; N là điểm nằm giữa S và B; giao điểm của hai đường thẳng AC và BD là O.
a) Tìm giao điểm của đường thẳng SO với mp(CMN)
b) Tìm giao tuyến của hai mp(SAD) và (CMN)
c) Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mp(CMN) 
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD.Trong DSBC lấy điểm M, trong DSCD lấy điểm N.
a) Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mp(SAC)
b) Tìm giao điểm của SC với mp(AMN)
c) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(AMN). 
Bài 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Gọi E là điểm thuộc đoạn AN ( không là trung điểm AN) và Q là điểm thuộc đoạn BC.
a) Tìm giao điểm của EM với mp(BCD)
b) Tìm giao tuyến của hai mp(EMQ) và (BCD) ; (EMQ) và (ABD)
c) Tìm thiết diện cắt tứ diện bởi mp(EMQ).
3. Dạng 3: Chứng minh đường thẳng d song song với mp(α)
* Phương pháp: (Định lí 1 SGK trang 61)
 Tóm tắt: Nếu thì d // (α)
Nhận xét: Vấn đề nêu lên ở đây là đường thẳng a có trên hình vẽ hay chưa, nó được xác định như thế nào, làm thế nào để xác định được nó. GV cần làm cho HS biết hướng giải quyết của bài toán là dựa vào giả thiết của từng bài toán mà xác định đường thẳng a như thế nào cho phù hợp. 
3.1. Ví dụ
Bài 1: Cho hình lăng trụ tam giác ACB.A’B’C’. Gọi H là trung điểm của A’B’.
a) Tìm giao tuyến của hai mp(AB’C’) và (ABC).
b) Chứng minh rằng CB’ // (AHC’)
Lời giải:
a) Ta có : 
Þ A là điểm chung của (AB’C’) và (ABC).
Mà 
Nên (AB’C’)Ç(ABC) = x và Ax // BC // B’C’ 
b) Ta có tứ giác AA’CC’ là hình bình hành 
Suy ra A’C cắt AC’ tại trung điểm I của mỗi đường
Do đó IH // CB’ (IH là đường trung bình của DCB’A’)
Mặt khác IH Ì (AHC’) nên CB’ // (AHC’).
Bài 2 : Cho tứ diện ABCD, gọi M, N lần lượt là trọng tâm của DABD và DACD. Chứng minh rằng :
a) MN // (BCD)	b) MN // (ABC)
Lời giải :
a) Gọi E là trung điểm BD ; F là trung điểm CD.
Trong DABD ta có: (M là trọng tâm DABD)
Trong DACD ta có: (N là trọng tâm DACD)
Vậy 
Mà EF Ì (BCD) Þ MN // (BCD)
b) Trong DBCD có : EF là đường trung bình 
Þ EF // BC
Þ MN // EF // BC Þ MN // (ABC). 
Bài 3: (Bài 1 trang 63 sgk) Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng.
a) Gọi O và O’ lần lượt là tâm của ABCD và ABEF. Chứng minh rằng OO’ song song với (ADF) và (BCE).
b) Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của DABD và DABE. Chứng minh rằng : MM // (CEF).
	Lời giải:
a) Ta có : OO’ // DF (OO’ là đường trung bình DBDF ).
Mà DF Ì (ADF) Þ OO’ // (ADF).
Ta có : OO’ // CE (OO’ là đường trung bình DACE ).
Mà CE Ì (BCE) Þ OO’ // (BCE).
b) Gọi H là trung điểm của AB.
Ta có : 
ÞMN//DE mà DEÌCEFD)º (CEF)
Vậy MN // (CEF).
4. Dạng 4 : Chứng minh hai mp(α) và mp(b) song song nhau.
* Phương pháp:(Định lí 1 SGK trang 64)
Tóm tắt : Nếu thì (P) //(Q). 
* Nhận xét : Tương tự như bài toán chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng, vấn đề đặt ra là chọn hai đường thẳng a, b như thế nào ? Nằm trên mặt phẳng (P) hay mp(Q) ? GV cần hướng dẫn, gợi mở cho HS phát hiện ra được vấn đề của bài toán. 
4.1. Ví dụ
Bài 1: Cho hình chóp SABCD đáy là hình bình hành ABCD, AC cắt BD tại O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SC, CD. Chứng minh (MNO) // (SAD).
	Lời giải :
Trong DSCD có MN là đường trung bình 
Þ MN // SD mà SD Ì (SAD) 
Þ MN // (SAD). (1) 
Trong DSAC có MO là đường trung bình
Þ MO // SA mà SA Ì (SAD)
 	Þ MO // (SAD). (2) 
Từ (1) và (2) suy ra (MNO) // (SAD).
Bài 2: Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng phân biệt. Trên các đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M và N sao cho AM = BN. Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M và N lần lượt cắt AD và AF tại M’ và N’. Chứng minh rằng:
a) mp(ADF) // mp(BCE)
b) mp(DEF) // mp(MM’N’N). 
Nhận xét: HS dễ dàng chứng minh được câu a, nhưng đối với câu b thì GV nên hướng dẫn cho HS biết cách vẽ hình, nhận xét được hai đường thẳng AC và BF là bằng nhau, từ đó gợi mở cho HS biết chứng minh hai đường thẳng MM’ và M’N’ song song với mp(DEF) dựa vào định lí Talét đảo. 	
Lời giải:
a) Ta có: 	AF // BE Ì (BCE) ; AD // BC Ì (BCE)
	Þ AF và AD cùng song song với mp(BCE)
mà AF, AD Ì (ADF) Vậy : (ADF) // (BCE).
b) Ta có: MM’ // AB mà AB // EFÞ MM’ // EF Ì (DEF). (*)
Mặt khác : 	MM’ // CD 
	NN’ // AB 
Mà AM = BN, AC = BF 
Từ (1), (2) và (3) (**) 	 
Mà MM’, M’N’ Ì (MM’N’N) (***)
Từ (*), (**), (***) Þ (DEF) // (MM’N’N).
Bài 3: (Bài 3 trang 71 sgk) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.
a) Chứng minh rằng hai mp(BDA’) và (B’D’C) song song nhau.
b) Chứng minh rằng đường chéo AC’ đi qua trọng tâm G1 và G2 của hai tam giác BDA’ và B’D’C.
	Lời giải:
a) Ta có: 
Ta có : 
b) Ta có : CC’ // BB’ // AA’ và CC’ = BB’ = AA’ nên AA’C’C là hình bình hành.
Gọi I là tâm của hình bình hành AA’C’C. 
Gọi O, O’ lần lượt là tâm hình bình hành ABCD và A’B’C’D’.
Trong mp(AA’C’C) gọi G1 = AC’ Ç A’O ; G2 = AC’ Ç CO’ 
Þ G1 , G2 lần lượt là trọng tâm DAA’C và CC’A’.
Þ A’G = 2G1O và CG2 = 2G2O’ (*)
Xét hai DBDA’ và B’D’C có A’O và CO’ là hai trung tuyến nên từ (*) suy ra G1 , G2 lần lượt là trọng tâm DBDA’ và DB’D’C.
4.2. Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh SA.
a) Xác định giao tuyến d của hai mp (MBD) và (SAC). Chứng tỏ d // mp(SCD). 
b) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp (MBC). Thiết diện đó là hình gì?
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi. Gọi E là một điểm thuộc miền trong của tam giác SCD
a) Tìm giao tuyến của hai mp(SAC) và (SBE). Tìm giao điểm của BE với (SAC)
b) Xác định thiết diện tạo bởi hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (ABE).
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm SB, SC.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD). Tìm giao điểm H của đường thẳng AN và mặt phẳng (SBD).
b) Gọi I là giao điểm của AM và DN. Chứng minh rằng SI // (ABCD). 
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M là trung điểm SC.
 a) Tìm giao tuyến của mp(ABM) và mp(SBD).
 b) Gọi N là giao điểm của SD với mp(ABM). Chứng minh MN // mp(SAB).
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O.
a) Xác định giao tuyến của 2 mp ( SAB ) và (SCD). Gọi I là trung điểm của SA , tìm giao điểm của IC và mp(SBD)
b) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(IBC).
Bài 6: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB là đáy lớn. Gọi M, N lần lượt là hai điểm trên hai cạnh SA , SB sao cho AM = 2SM và 3SN = SB.
a) Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC), (SAB) và (SCD)
b) Chứng minh MN song song với mp(SCD)
Bài 7: Cho hình chóp đỉnh S có đáy là hình thang ABCD với AB là đáy lớn. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh SB và SC.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng : (SAD) và (SBC).
b) Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN).
c) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (AMN). 
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD các cạnh đáy không song song nhau . Gọi M là điểm nằm trong mặt phẳng (SCD) .
a) Tìm giao tuyến của hai mặt (SAB) và (SCD)
b) Tìm thiết diện của mặt phẳn