Sáng kiến kinh nghiệm Một số bài toán về tích của vectơ với một số

 MỤC LỤC
I. Lời giới thiệu............................................................................................2
II. Tên sáng kiến2
 III. Tác giả sáng kiến.................................................................................2
IV. Chủ đầu tƣ tạo ra sáng kiến................................................................2
V. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến2
VI. Ngày sáng kiến đƣợc áp dụng lần đầu ...........................................2
VII. Mô tả bản chất của sáng kiến ........................................................2
A. Nội dung 3
1. Cơ sở lý luận........................................................................................3
2. Các bài toán cơ bản ............................................................................3
Bài toán 1. Chứng minh đẳng thức vectơ .............................................3
Bài toán 2. Các bài toán về trọng tâm tam giác, tứ giác 15
Bài toán 3. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng, hai đƣờng thẳng song 
song 31
Bài toán 4. Các bài toán tìm điểm, tìm tập hợp điểm 44
B. Về khả năng áp dụng của sáng kiến .................................................52
 VIII. Những thông tin cần đƣợc bảo mật (nếu có)..................................5.2
IX. Đánh giá lợi ích thu đƣợc và kết quả kiểm nghiệm 52
X. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc
áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có):..........................................................53
TÀI LIỆU THAM KHẢO 55
 1 A. NỘI DUNG
1. Cơ sở lý luận
a, Định nghĩa: Tích của vectơ a với số thực k  0 là một vectơ, kí hiệu là ka ,
cùng hướng với a nếu k > 0, ngược hướng với vectơ a nếu k < 0 và có độ dài
bằng k . a
 Qui ước: 0.a  0 và k 0  0
b, Tính chất:
 i) k  ma  ka  ma
 ii) k a  b  ka  kb 
 iii)iii) km a   kma
 k  0
 iv)iv) ka  0  
 a  0
 v) 1a  a , 1a   a
c, Tính chất trung điểm:
 M là trung điểm đoạn thẳng AB  MA MB  0
 M là trung điểm đoạn thẳng AB OA OB  2OM (Với O là điểm tuỳ ý)
d, Tính chất trọng tâm:
 G là trọng tâm của tam giác ABC  GA+ GB +GC = O
 G là trọng tâm của tam giác ABC  OA+ OB + OC = OG (Với O là điểm tuỳ ý)
e, Điều kiện để hai véc tơ cùng phƣơng:
 b cùng phương với vectơ a  0 khi và chỉ khi có số k thỏa mãnb  ka .
Điều kiện cần và đủ để ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng là có số k sao cho
 AB  kBC
f, Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phƣơng:
Cho a không cùng phương với vectơ b . Khi đó với mọi vectơ x luôn biểu diễn 
được x  ma  nb và m, n là các số thực duy nhất.
2. Các bài toán cơ bản
 3 Mà I, J lÇn l­ît là trung ®iÓm cða AB và CD nên AI  BI  0 ; JC  JD  0
VËy AC  BD  ( AI  BI )  (JC  JD )   IJ  2 IJ .
 Tõ (1) và (2 ta có: AB  DC  AC  BD   IJ (®pcm).
b,
Theo hÖ thøc trung ®iÓm ta có OA OB  2 OI ; OC  OD  2 OJ
MÆt kh²c O là trung ®iÓm IJ nên ta có OI  OJ  0 .
Suy ra OA OB  OC  OD  0 .
c,
Theo c©u 2 ta có  OA OB  OC  OD  0
  OM  MA  OM  OB  OM  OC   OM  OD  0
  MA MB  MC  MD  4 OM (®fcm) 
Bài 2.
Cho tứ giác ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC, BD. Chứng 
minh rằng AB  CD  2IJ
Lời giải.
 B
Ta có  2IJ  IB  ID C
  IA  AB  IC  CD
  AB  CD  IA IC  I J
  AB  CD A D
 VËy AB  CD  2IJ (®pcm).
Bài 3.
Cho ngũ giác ABCDE. Các điểm M, N, P, Q, R, S theo thứ tự là trung 
điểm của các đoạn EA, AB, BC, CD, MP, NQ. Chứng minh rằng:
 1 
 a) RS  MN  PQ
 2 A NB
 b) 1 
 RS  ED. M
 4 P
 R
Lời giải. S
 E
 C
 Q
 D
 5 MB 
a có: MB   MC
 MC A
  C MB   MB .MC
  C  AB  AM   MB . AC  AM
   MB  MC AM  C AB  MB .AC
 B
 MC MB M C
  AM  AB  AC (®fcm).
 BC BC
 Bài 6.
 Cho tam giác ABC. Gọi H là điểm đối xứng với B qua G với G là trọng 
 tâm tam giác. Chứng minh rằng
 a, AH  2 AC  1 AB  CH  1 AB  1 AC .
 3 3 3 3
 b, MH  1 AC  5 AB , víi M là trung ®iÓm cða BC.
 6 6
 Lời giải.
 2 2 1 
 a, Ta có AH   AG  AB  AC  AB  AB  AC  AB
 3  3 3
 1 1 
 CH  AH  AC   AB  AC
 3 3
 1 1 5 
 b, MH  AH  AB  CH  AC  AB
 2  6 6
 Bài 7.
 Cho ABC. Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh
 AC, sao cho NC = 2NA. Gọi K là trung điểm của MN.
 1 1
 a, Chứng minh rằng AK = AB + AC.
 4 6
 1 1
 b, Gọi D là trung điểm của BC. Chứng minh rằng KD = AB + AC.
 4 3
 Lời giải.
 7 A N B
 Q
 P
 D M C
Ta có tứ giác DMBN là hình bình hành vì
 1 
 DM  NB  AB, DM / /NB .
 2
Suy ra DM  NB .
Xét tam giác CDQ có M là trung điểm của DC và MP / /QC do đó
 P là trung điểm của DQ .
Tương tự xét tam giác ABP suy ra được Q là trung điểm của PB
Vì vậy DP  PQ  QBtừ đó suy ra DP  PQ  QB
Bài 10.
Cho tam giác đều ABC tâm O, M là điểm bất kì trong tam giác. ạ MD, 
ME, MF, lần lượt vuông góc với các cạnh BC, CA, AB.
 3 
Chứng minh rằng: MD  ME  MF  MO
 2
 Lời giải.
 A
 O M
 C
 B A' D
Gọi AA’, BB’, CC’, là đường cao của tam giác ABC.
Theo bài  ta có: Sa .MA Sb .MB  SC .MC  0 (1)
 MD 3 S
MÆt khác MD  .AA'  . a .AO (víi S  S )
 AA' 2 S ABC
T­¬ng tù nh­ vËy ta có
 3 S 3 S
 ME  . b .BO ; MF  . c .CO.
 2 S 2 S
 9 Câu 2: Gọi AN, CM là các trung tuyến của tam giác ABC . Đẳng thức nào sau
 đây đúng?
 2 2 4 2 
 A. AB  AN  CM . B. AB  AN  CM .
 3 3 3 3
 4 4 4 2 
 C. AB  AN  CM . D. AB  AN  CM .
 3 3 3 3
 Lời giải
 Chọn D
 A
 M
 C
 B N
 Ta có
 1 1 1 1 1 1 
 AN  AB  AC  AB  AC CM  CA  AM  CM  CA  AM
 2   2 2 2 2 2
 Suy ra
 1 1 1 1 1 
 AN  CM  AB  AC  CA AM
 2 2 2 2 2
 1 1 1 1 1 3 
  AB  AC  AC   AB  AB
 2 2 2 2 2 4
 4 2 
 Do đó AB  AN  CM .
 3 3
Câu 3: Cho tam giác ABC . Gọi I , J là hai điểm xác định bởi IA 2IB ,
 3JA 2JC  0 . Hệ thức nào đúng?
 5 5 
 A. IJ  AC  2AB . B.IJ  AB  2AC .
 2 2
 2 2 
 C. IJ  AB  2AC . D. IJ  AC  2AB .
 5 5
 Lời giải
 J
 Chọn D A C
Ta có: IJ  IA AJ
 2 2 
  2AB  AC  AC  2AB . B
 5 5
 I
 11 Câu 6: Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD của tứ giác
 ABCD . Mệnh đề nào sau đây đúng?
 A. AC  BD  BC  AD  4MN .
 B. 4MN  BC  AD.
 C. 4MN  AC  BD.
 D. MN  AC  BD  BC  AD .
 Lời giải
 Chọn A
 B
 C
 M
 N
 A D
 Ta có: AC  BD  BC  AD
   AM  MN  NC   BM  MN  ND  BM  MN  NC   AM  MN  ND
  2 AM  BM  2NC  ND  4MN  4MN .
 0 0
Câu 7: Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AD, BC của tứ giác ABCD .
 Đẳng thức nào sau đây sai?
 A. AC  DB  2MN . B. AC  BD  2MN .
 C. AB  DC  2MN. D. MB  MC  2MN .
 Lời giải
 Chọn C
 B
 A
 N
 M
 D C
 Do M là trung điểm các cạnh AD nên MD  MA 0
 Do N lần lượt là trung điểm các cạnh BC nên 2MN  MC  MB. Nên
 D đúng.
 13