Sáng kiến kinh nghiệm Giúp học sinh Lớp 9 phát hiện và tránh sai lầm khi giải toán về căn bậc hai

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN
Kính gửi: Hội đồng Sáng kiến ngành Giáo dục và Đào tạo 
quận Liên Chiểu
Chúng tôi ghi tên dưới đây:
Số TT
Họ và tên 
Ngày tháng năm sinh
Nơi công tác (hoặc nơi thường trú)
Chức danh
Trình độ chuyên môn
Tỷ lệ (%) đóng góp vào việc tạo ra giải pháp (ghi rõ đối với từng đồng tác giả, nếu có)
1
Lê Thị Tố Nga
11/11/1976
Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm
Giáo viên
Đại học
50%
2
Phan Thị Kim Thoa
12/03/1977
Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm
Giáo viên
Đại học
50%
Là nhóm tác giả đề nghị công nhận giải pháp:” Giúp học sinh lớp 9 phát hiện và tránh sai lầm khi giải toán về căn bậc hai”
1. Chủ đầu tư tạo ra giải pháp
Giáo viên: Lê Thị Tố Nga và Phan thị Kim Thoa .
2. Lĩnh vực áp dụng giải pháp
Bộ môn toán Trung học cơ sở
3. Ngày giải pháp được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử 
Ngày 14 tháng 9 năm 2020 tại trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm
4. Tình trạng của giải pháp đã biết
Trong quá trình giảng dạy thực tế một số năm học, tôi đã phát hiện ra còn rất nhiều học sinh thực hành kỹ năng giải toán còn kém trong đó có rất nhiều học sinh (45%) chưa thực sự hiểu kỹ về căn bậc hai và trong khi thực hiện các phép toán về căn bậc hai hay có sự nhầm lẫn hiểu sai đầu bài, thực hiện sai mục đích Việc giúp học sinh nhận ra sự nhầm lẫn, giúp các em tránh được sự nhầm lẫn đó là một công việc vô cùng cần thiết, giúp các em có mọi sự am hiểu vững chắc về lượng kiến thức căn bậc hai 
5. Mô tả giải pháp
5.1 Mục đích của giải pháp
Qua nhiều năm giảng dạy bộ môn toán và tham khảo ý kiến của các đồng nghiệp nhiều năm kinh nghiệm, tôi nhận thấy : trong quá trình hướng dẫn học sinh giải toán Đại số về căn bậc hai thì học sinh rất lúng túng khi vận dụng các khái niệm, định lý, bất đẳng thức, các công thức toán học.
Sự vận dụng lí thuyết vào việc giải các bài tập cụ thể của học sinh chưa linh hoạt. Khi gặp một bài toán đòi hỏi phải vận dụng và có sự tư duy thì học sinh không xác định được phương hướng để giải bài toán dẫn đến lời giải sai hoặc không làm được bài.
Một vấn đề cần chú ý nữa là kỹ năng giải toán và tính toán cơ bản của một số học sinh còn rất yếu.
Để giúp học sinh có thể làm tốt các bài tập về căn bậc hai trong phần chương I đại số 9 thì người thầy phải nắm được các khuyết điểm mà học sinh thường mắc phải, từ đó có phương án “ Giúp học sinh phát hiện và tránh sai lầm khi giải toán về căn bậc hai”
5.2 Nội dung của giải pháp
5.2.1Phân tích kiến thức, kĩ năng và những nguyên nhân dẫn đến sai lầm trong khi giải toán về căn bậc hai
 a. Các kiến thức:
Cách trình bày căn bậc hai ở lớp 9:
1) Đưa ra kiến thức đã biết ở lớp 7 :
 - Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x2 = a.
- Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau : số dương kí hiệu là và số âm kí hiệu là 
- Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết = 0.
2) Đưa ra định nghĩa : Với số dương a, số được gọi là căn bậc hai số học của a. Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0.
3) Đưa ra chú ý : Với a≥ 0, ta có :
Nếu x = thì x ≥ 0 và x2 = a;
Nếu x ≥ 0 và x2 = a thì x =. Ta viết : 
4) Đưa ra nội dung về phép khai phương : Phép toán tìm căn bậc hai số học của số không âm gọi là phép khai phương.
5) Khi biết căn bậc hai số học của một số, ta dễ dàng xác định được các căn bậc hai bậc hai của nó.
Nội dung chủ yếu về căn bậc hai đó là phép khai phương (phép tìm căn bậc hai số học của số không âm) và một số phép biến đổi biểu thức lấy căn bậc hai.
* Nội dung của phép khai phương gồm :
- Giới thiệu phép khai phương (thông qua định nghĩa, thuật ngữ về căn bậc hai số học của số không âm)
- Liên hệ của phép khai phương với phép bình phương (với a ≥0, có ; với a bất kỳ có )
- Liên hệ phép khai phương với quan hệ thứ tự (SGK thể hiện bởi Định lý về so sánh các căn bậc hai số học : “Với a ≥ 0, b ≥ 0, ta có : a < b ”)
- Liên hệ phép khai phương với phép nhân và phép chia (thể hiện bởi : định lý “ Với a ≥ 0, b ≥ 0, ta có : ” và định lý “ Với a ≥ 0, b > 0, ta có : ”)
* Các phép biến đổi biểu thức chứa căn bậc hai mà SGK giới thiệu cho bởi các công thức sau: Với các biểu thức A,B,C ta có: 
= | A| 
 ( với A ≥ 0, B ≥ 0)
 ( với A ≥ 0, B > 0)
 ( với B ≥ 0 )
 ( với AB ≥ 0, B ≠ 0 )
 ( với và B > 0)
 (với A≥ 0, A ≠ B2)
 ( với A ≥ 0, B ≥ 0 và A ≠ B )
* Tuy nhiên mức độ yêu cầu đối với các phép biến đổi này là khác nhau và chủ yếu việc giới thiệu các phép biến đổi này là nhằm hình thành kỹ năng biến đổi biểu thức (một số phép biến đổi chỉ giới thiệu qua ví dụ có kèm thuật ngữ. Một số phép biến đổi gắn với trình bày tính chất phép tính khai phương).
b. Kỹ năng : 
Hai kỹ năng chủ yếu là kỹ năng tính toán và kỹ năng biến đổi biểu thức.
* Có thể kể các kỹ năng về tính toán như :
- Phép khai phương của một số (số đó có thể là số chính phương trong khoảng từ 1 đến 400 hoặc là tích hay thương của chúng, đặc biệt là tích hoặc thương của số đó với số 100)
- Phối hợp kỹ năng khai phương với kỹ năng cộng trừ nhân chia các số (tính theo thứ tự thực hiện phép tính và tính hợp lý có sử dụng tính chất của phép khai phương)
* Có thể kể các kỹ năng về biến đổi biểu thức như :
- Các kỹ năng biến đổi riêng lẻ tương ứng với các công thức nêu ở phần trên (với công thức dạng A = B , có thể có phép biến đổi A thành B và phép biến đổi B thành A). Chẳng hạn kỹ năng nhân hai căn thức bậc hai có thể coi là vận dụng công thức theo chiều từ phải qua trái.
- Phối hợp các kỹ năng đó (và cả những kỹ năng có trong những lớp trước) để có kỹ năng mới về biến đổi biểu thức chứa căn thức bậc hai. Chẳng hạn kỹ năng trục căn thức ở mẫu.
Điều quan trọng nhất khi rèn luyện các kỹ năng biến đổi biểu thức là tính mục đích của các phép biến đổi. Điều này, SGK chú ý thông qua các ứng dụng sau khi hình thành ban đầu kỹ năng về biến đổi biểu thức. Các ứng dụng này còn nhằm phong phú thêm cách thức rèn kỹ năng (để so sánh số, giải toán tìm x thoả mãn điều kiện nào đó.)
Ngoài hai kỹ năng nêu ở trên ta còn thấy có những kỹ năng được hình thành và củng cố trong phần này như :
- Giải toán so sánh số 
- Giải toán tìm x
- Lập luận để chứng tỏ số nào đó là căn bậc hai số học của một số đã cho
- Một số lập luận trong giải toán so sánh số (củng cố tính chất bất đẳng thức nêu ở toán 8)
- Một số kỹ năng giải toán tìm x (kể cả việc giải phương trình tích)
- Kỹ năng tra bảng số và sử dụng máy tính. 
Có thể nói rằng, hình thành và rèn luyện kỹ năng chiếm thời gian chủ yếu của phần kiến thức này (ngay cả việc hình thành kiến thức cũng chú ý đến các kỹ năng tương ứng và nhiều khi, chẳng hạn như giới thiệu phép biến đổi, chỉ thông qua hình thành kỹ năng).
5.2.2 Phân tích những điểm khó trong kiến thức về căn bậc hai :
 Điểm khó về kiến thức so với khả năng tiếp thu của học sinh:
- Nội dung kiến thức phong phú, xuất hiện dày đặc trong một chương với số tiết không nhiều nên một số kiến thức chỉ giới thiệu để làm cơ sở để hình thành kỹ năng tính toán, biến đổi. Thậm chí một số kiến thức chỉ nêu ở dạng tên gọi mà không giải thích (như biểu thức chứa căn bậc hai, điều kiện xác định căn thức bậc hai, phương pháp rút gọn và yêu cầu rút gọn )
- Tên gọi (thuật ngữ toán học) nhiều và dễ nhầm lẫn, tạo nguy cơ khó hiểu khái niệm (chẳng hạn như căn bậc hai, căn bậc hai số học, khai phương, biểu thức lấy căn, nhân các căn bậc hai, khử mẫu, trục căn thức).
5.2.3 Tìm những sai lầm thường gặp khi giải toán về căn bậc hai :
A. Sai lầm về tên gọi hay thuật ngữ toán học :
a) Định nghĩa về căn bậc hai :
* ở lớp 7 : - Đưa ra nhận xét 32 = 9; (-3)2 = 9. Ta nói 3 và -3 là các căn bậc hai của 9.
- Định nghĩa : Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x2 = a.
- Số dương a có đúng hai căn bậc hai, một số dương ký hiệu là và một số âm ký hiệu là -.
* ở lớp 9 chỉ nhắc lại ở lớp 7 rồi đưa ra định nghĩa căn bậc hai số học.
b) Định nghĩa căn bậc hai số học :
Với số dương a, số được gọi là căn bậc hai số học của a.
Sau đó đưa ra chú ý : với a ≥ 0, ta có :
Nếu x = thì x ≥ 0 và x2 = a;
Nếu x ≥ 0 và x2 = a thì x =. Ta viết
x = 
Phép toán tìm căn bậc hai số học của số không âm gọi là phép khai phương (gọi tắt là khai phương).
- Nguy cơ dẫn đến học sinh có thể mắc sai lầm chính là thuật ngữ “căn bậc hai” và"căn bậc hai số học”. 
Ví dụ 1 : Tìm các căn bậc hai của 16.
Rõ ràng học sinh rất dễ dàng tìm ra được số 16 có hai căn bậc hai là hai số đối nhau là 4 và - 4.
 Ví dụ 2 : Tính 
Học sinh đến đây sẽ giải sai như sau :
 = 4 và - 4 có nghĩa là = 4
Như vậy học sinh đã tính ra được số có hai căn bậc hai là hai số đối nhau là:
 = 4 và = -4
Do đó việc tìm căn bậc hai và căn bậc hai số học đã nhầm lẫn với nhau.
Lời giải đúng : = 4 ( có thể giải thích thêm vì 4 > 0 và 42 = 16)
Trong các bài toán về sau không cần yêu cầu học sinh phải giải thích.
c) So sánh các căn bậc hai số học :
Với hai số a và b không âm, ta có a < b 
Ví dụ 3 : so sánh 4 và 
Học sinh sẽ loay hoay không biết nên so sánh chúng theo hình thức nào vì theo định nghĩa số chính là căn bậc hai số học của 15 do đó nếu đem so sánh với số 4 thì số 4 có hai căn bậc hai là 2 và -2 cho nên với suy nghĩ đó học sinh sẽ đưa ra lời giải sai như sau : 4 < (vì cả hai căn bậc hai của 4 đều nhỏ hơn ).
Tất nhiên trong cái sai này của học sinh không phải các em hiểu nhầm ngay sau khi học song bài này mà sau khi học thêm một loạt khái niệm và hệ thức mới thì học sinh sẽ không chú ý đến vấn đề quan trọng này nữa.
Lời giải đúng : 16 > 15 nên > . Vậy 4 = > 
ở đây giáo viên cần nhấn mạnh luôn là ta đi so sánh hai căn bậc hai số học!
d) Sai trong thuật ngữ chú ý của định nghĩa căn bậc hai số học : 
với a ≥ 0, ta có :
Nếu x = thì x ≥ 0 và x2 = a;
Nếu x ≥ 0 và x2 = a thì x =.
Ví dụ 4 : Tìm số x không âm biết : = 15 
Học sinh sẽ áp dụng chú ý thứ nhất và sẽ giải sai như sau : 
Nếu x = thì x ≥ 0 và x2 =a; vì phương trình x2 = a có 2 nghiệm là x = và x = - học sinh đã được giải ở lớp 7 nên các em sẽ giải bài toán trên như sau :
 = 15 = 152 => x = 225 hoặc x = -225. 
Vậy tìm được hai nghiệm là x1 =225 và x2 = -225
Lời giải đúng : cũng từ chú ý về căn bậc hai số học, ta có x = 152. Vậy x = 225.
e) Sai trong thuật ngữ khai phương :
Ví dụ 5 : Tính - 
- Học sinh hiểu ngay được rằng phép toán khai phương chính là phép toán tìm căn bậc hai số học của số không âm nên học sinh sẽ nghĩ - là một căn bậc hai âm của số dương 25, cho nên sẽ dẫn tới lời giải sai như sau : 
 - = 5 và - 5
Lời giải đúng là : - = -5 
g) Sai trong khi sử dụng căn thức bậc hai và hằng đẳng thức = | A|
Căn thức bậc hai : 
Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi là căn thức bậc hai của A, còn A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.
 xác định (hay có nghĩa ) khi A lấy giá trị không âm.
Hằng đẳng thức : = | A|
Cho biết mối liên hệ giữa phép khai phương và phép bình phương.
Ví dụ 6 : Hãy bình phương số -8 rồi khai phương kết quả vừa tìm được.
Học sinh với vốn hiểu biết của mình sẽ có lời giải sau (lời giải sai) : 
 (-8)2 = 64 , nên khai phương số 64 lại bằng -8
Lời giải đúng : (-8)2 = 64 và = 8.
Mối liên hệ = | a| cho thấy “ Bình phương một số, rồi khai phương kết quả đó, chưa chắc sẽ được số ban đầu”
Ví dụ 7 : Với a2 = A thì chưa chắc đã bằng a
Cụ thể ta có (-5)2 = 25 nhưng = 5; rất nhiều ví dụ tương tự đã khẳng định được kết quả như ở trên.
B. Sai lầm trong các kỹ năng tính toán :
a) Sai lầm trong việc xác định điều kiện tồn tại của căn bậc hai :
Ví dụ 8 : Tìm giá trị nhỏ nhất của :
A = x + 
 * Lời giải sai : A= x + = (x++ ) - = (+)2 ≥ - 
Vậy min A = -.
 * Phân tích sai lầm : 
Sau khi chứng minh f(x) ≥ -, chưa chỉ ra trường hợp xảy ra f(x) = -. Xảy ra khi và chỉ khi = -(vô lý).
 * Lời giải đúng : 
Để tồn tại thì x ≥0. Do đó A = x + ≥ 0 hay min A = 0 khi và chỉ khi x=0
Ví dụ 9 : Tìm x, biết : - 6 = 0
 * Lời giải sai :
- 6 = 0 2(1-x) = 6 1- x = 3 x = - 2.
 * Phân tích sai lầm : Học sinh có thể chưa nắm vững được chú ý sau : Một cách tổng quát, với A là một biểu thức ta có = | A|, có nghĩa là :
 = A nếu A ≥ 0 ( tức là A lấy giá trị không âm );
 = -A nếu A < 0 ( tức là A lấy giá trị âm ).
Như thế theo lời giải trên sẽ bị mất nghiệm.
 * Lời giải đúng : 
- 6 = 0 | 1- x | = 3. 
Ta phải đi giải hai phương trình sau : 1) 1- x = 3 x = -2
 2) 1- x = -3 x = 4. 
Vậy ta tìm được hai giá trị của x là x1= -2 và x2= 4.
Ví dụ 10 ( Bài 60 sgk): Tìm x sao cho B có giá trị là 16.
B = - + + với x ≥ -1
* Lời giải sai :
B = 4-3+ 2+ 
B = 4
16 = 4 4 = 42 = ()2 hay 16 = 
 16 = | x+ 1|
Nên ta phải đi giải hai phương trình sau : 
1) 16 = x + 1 x = 15
2) 16 = - (x+1) x = - 17
Vậy B =16 khi x = 15 hoặc x = -17
 * Phân tích sai lầm : Với cách giải trên ta được hai giá trị của x là x1= 15 và
x2 = -17 nhưng chỉ có giá trị x1 = 15 là thoả mãn, còn giá trị x2= -17 không đúng. Đâu là nguyên nhân của sự sai lầm đó ? Chính là sự áp dụng quá dập khuôn vào công thức mà không để ý đến điều kiện đã cho của bài toán, với x ≥ -1 thì các biểu thức trong căn luôn tồn tại nên không cần đưa ra biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối nữa.!
* Lời giải đúng : 
B = 4-3+ 2+ 
B = 4
16 = 4 4 = (do x ≥ -1)
 16 = x + 1. Suy ra x = 15.
b) Sai lầm trong kỹ năng biến đổi :
Trong khi học sinh thực hiện phép tính các em có đôi khi bỏ qua các dấu của số hoặc chiều của bất đẳng thức dẫn đến giải bài toán bị sai.
Ví dụ 11 : Tìm x, biết : 
(4- .
* Lời giải sai :
(4- 2x < ( chia cả hai vế cho 4 -)
 x < .
* Phân tích sai lầm: Nhìn qua thì thấy học sinh giải đúng và không có vấn đề gì. Học sinh khi nhìn thấy bài toán này thấy bài toán không khó nên đã chủ quan không để ý đến dấu của bất đẳng thức : “Khi nhân hoặc chia cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm thì bất đẳng thức đổi chiều”.
Do đó rõ ràng sai ở chỗ học sinh đã bỏ qua việc so sánh 4 và cho nên mới bỏ qua biểu thức 4 - là số âm, dẫn tới lời giải sai.
* Lời giải đúng : Vì 4 = < nên 4 - < 0, do đó ta có
(4- 2x > x > .
Ví dụ 12 (? 3sgk): Rút gọn biểu thức : 
* Lời giải sai: = = x - .
* Phân tích sai lầm : Rõ ràng nếu x = - thì x + = 0, khi đó biểu thức sẽ không tồn tại. Mặc dù kết quả giải được của học sinh đó không sai, nhưng sai trong lúc giải vì không có căn cứ lập luận, vì vậy biểu thức trên có thể không tồn tại thì làm sao có thể có kết quả được.
* Lời giải đúng : Biểu thức đó là một phân thức, để phân thức tồn tại thì cần phải có x + ≠ 0 hay x ≠ -. Khi đó ta có 
 = = x - (với x ≠ -).
Ví dụ 13( bài 65 sgk) : Rút gọn M, rồi tìm giá trị nhỏ nhất của M.
M = với a > 0.
* Lời giải sai :
M = = 
M = . 
M = 
Ta có M = = - = 1- , khi đó ta nhận thấy M 0
Do đó min M = 0 khi và chỉ khi a = 1.
* Phân tích sai lầm : Nhìn vào kết quả của bài toán rút gọn thì không sai, nhưng sai ở chỗ học sinh lập luận và đưa ra kết quả về giá trị nhỏ nhất của M thì lại sai.
Rõ ràng học sinh không để ý đến chi tiết khi a = 1 thì = 1 do đó - 1= 0, điều này sẽ mâu thuẫn trong điều kiện tồn tại của phân thức.
* Lời giải đúng :
M = có a > 0 và - 1 ≠ 0 hay a >0 và a ≠ 1.
Với điều kiện trên, ta có :
M = . 
M = 
khi đó ta nhận thấy M 0. Nếu min M = 0, khi và chỉ khi a = 1(mâu thuẫn với điều kiện).
Vậy 0 < min M < 1, khi và chỉ khi 0 < a < 1.
Ví dụ 14 : Cho biểu thức : 
Q = với x ≠ 1, x > 0
a) Rút gọn Q
b) Tìm x để Q > -1.
 Giải : a) Q = 
 Q = - 
 Q = 
 Q = = 
 Q = = 
 Q = - 
 b) * Lời giải sai : Q > -1 nên ta có 
 - > -1 3 > 1+ 2 > 4 > x hay x < 4.
 Vậy với x < 4 thì Q < -1.
 * Phân tích sai lầm : Học sinh đã nghiễm nhiên bỏ dấu âm ở cả hai vế của bất đẳng thức vì thế có luôn được bất đẳng thức mới với hai vế đều dương nên kết quả của bài toán dẫn đến sai.
 * Lời giải đúng : 
 Q > -1 nên ta có 
 - > -1 3 > 2 x > 4.
 Vậy với x > 4 thì Q > - 1.
Ví dụ 15 : ( Đề thi học kì 1 năm 2018-2019 của sở giáo dục thành phố Đà Nẵng) 
Cho biểu thức 
a/ Tìm x,y để M có nghĩa
b/ Tìm tất cả các giá trị của x,y để M=-1
Giải : 
a/ M có nghĩa :x > 0 ; y > 0 ; x ≠ y
b/
*Lời giải sai: Để M=-1 thì –y= - 1óy=1
	Vậy y=1 ,x>0 thì M=-1
	Câu b sai ở chỗ học sinh khi kết luận còn thiếu điều kiện là x≠y mà y=1 nên x≠1
	*Lời giải đúng : Để M=-1 thì –y= - 1óy=1
	Vậy y=1 ,x>0 và x≠1 thì M=-1
Trên đây là một số những sai lầm mà học sinh hay mắc phải, xong trong quá trình hướng dẫn học sinh giải bài tập, giáo viên cần phân tích kỹ đề bài để học sinh tìm được phương pháp giải phù hợp, tránh lập luận sai hoặc hiểu sai đầu bài sẽ dẫn đến kết quả không chính xác.
6. Khả năng áp dụng của giải pháp
Giải pháp có khả năng áp dụng cho tất cả các đối tượng học sinh ở lớp 9 , kể cả những lớp học sinh chuyên và chọn.
7. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng giải pháp
a/ Khảo sát sự yêu thích môn học bằng phiếu trắc nghiệm thu được kết quả sau:
Phân môn
Sĩ số
Rất hứng thú
%
Hứng thú
%
Bình thường
%
Không hứng thú
%
Khi chưa áp dụng giải pháp
Đại số 9
80
5
6,25%
10
12,5%
36
45%
29
36,25%
Sau khi áp dụng giải pháp
80
12
15%
15
18,75%
37
46,25%
16
20%
b/ Khảo sát chất lượng môn toán bằng bài kiểm tra 45 phút chương 1năm học 2019-2020 và bài kiểm tra giữa kì 1 năm học 2020-2021 thu được kết quả như sau:
Phân môn
Sĩ số
Giỏi
%
Khá
%
TB
%
Yếu
%
Kém
%
Khi chưa áp dụng giải pháp
Đại số 9
80
12
15%
18
22,5%
20
25%
24
30%
6
7,5%
Sau khi áp dụng giải pháp
80
19
23,75%
24
30%
27
33,75%
10 
12,5%
0
0%
Sau quá trình thực hiện các biện pháp trên, bản thân tôi rút ra được những nhận xét sau:
Như vậy sau khi tôi phân tích kỹ các sai lầm mà học sinh thường mắc phải trong khi giải bài toán về căn bậc hai thì số học sinh giải đúng bài tập tăng lên, số học sinh mắc sai lầm khi lập luận tìm lời giải giảm đi nhiều, học sinh tích cực, chủ động làm bài tập. Từ đó chất lượng dạy và học môn Đại số nói riêng và môn Toán nói chung được nâng lên. 
8. Những thông tin cần được bảo mật (nếu có)
Không có
Chúng tôi xin cam đoan mọi thông tin nêu trên là trung thực, đúng sự thật và hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật./.
Xác nhận của đơn vị
nơi giải pháp được áp dụng
Đà Nẵng ,ngày15 tháng 12 năm2020
Người nộp đơn/Đại diện
những người nộp đơn
Lê Thị Tố Nga Phan Thị Kim Thoa