Sáng kiến kinh nghiệm Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ

 SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ
 BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu
Toán học là môn học rèn luyện khả năng tư duy, logic trong giải quyết vấn đề. Đặc biệt là 
môn hình học đòi hỏi học sinh phải tư duy, liên kết các giải thiết và phát hiện các tính 
chất đặc biệt mà đề bài còn ẩn từ đó đưa ra hướng giải quyết bài toán.
 Vectơ là chương đầu tiên của hình học lớp 10, vectơ có nhiều ứng dụng thực tế như là 
tính công trong vật lý. Ngoài ra vectơ còn là công cụ hữu hiệu để giải các bài toán khó 
như giải phương trình, giải bất phương trình chứng minh bất đẳng thức. Một trong những 
ứng dụng của vectơ trong hình học là chứng minh 3 điểm thẳng hàng. Nói đến hình học 
đa số học sinh đều sợ vì hình học đòi hỏi học sinh phải tuy duy nhiều và mỗi bài lại có 
những điểm khác nhau mà học sinh gặp khó khăn trong việc quy lạ về quen. Có những bài 
hình học đòi hỏi học sinh phải vẽ hình phụ khiến học sinh gặp khá nhiều khó khăn. 
Chứng minh 3 điểm thẳng hàng là dạng toán hay gặp trong các đề thi học sinh giỏi và có 
thể phát triển thành các bài trắc nghiệm sử dụng trong các đề thi khảo sát chất lượng lớp 
10 .
Sáng kiến kinh nghiệm: “ Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ” tôi 
chia bài tập theo các mức độ nhận thức của học sinh giúp học sinh làm những bài toán 
chứng minh 3 điểm thẳng hàng một cách dễ dàng. Học sinh sẽ không con thấy lo sợ khi 
gặp các bài toán hình học. 
Sáng kiến kinh nghiệm tôi viết do nhiều yếu tố khách quan nên vẫn còn nhiều tồn tại. Rất 
mong nhận được sự đóng góp của đồng nghiệp và học sinh để sáng kiến của tôi hoàn 
thiện hơn.
2. Tên sáng kiến: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ.
3. Tác giả sáng kiến
 - Họ và tên: Phan Thị Kim Sang
 - Địa chỉ: xã Thổ Tang - Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc
 1 SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ
 NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ CHỨNG MINH 3 ĐIỂM 
 THẲNG HÀNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ”
Để chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ thì điều qua trọng các em 
học sinh phải biết phân tích 1 vectơ qua 2 vectơ không cùng phương. Vì vậy phần đầu 
tiên tôi đưa ra bài tập về phân tích một vectơ qua hai vectơ không cùng phương.
Phần 1: Phân tích 1 vectơ qua 2 vectơ không cùng phương
   
Cơ sở lí luận: Cho 2 vectơ không cùng phương a và b . Khi đó mọi vectơ x đều có thể 
  
phân tích duy nhất qua hai vectơ a và b , nghĩa là có duy nhất cặp số m và n sao cho 
   
 x  ma  nb .
Bài 1. Cho ABC có trọng tâm G. Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các 
    
cạnh BC, CA, AB và I là giao điểm của AD và EF. Đặt u  AE; v  AF . Hãy phân tích 
      
các vectơ AI ,AG,DE,DC theo hai vectơ u,v .
 Hướng dẫn giải
 Ta có 
  1  1   1  1 
 AI  AD  ( AE  AF )  u  v )
 2 2 2 2
  2  2  2 
 AG  AD  u  v
 3 3 3
     
 DE  FA  AF  0.u ( 1)v
      
 DC  FE  AE  AF  u  v
Bài 2. Cho tam giác ABC. Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho MB= 2MC. Hãy phân tích 
     
vectơ AM theo hai vectơ u  AB, v  AC .
 Hướng dẫn giải
     2 
 Ta có AM  AB  BM  AB  BC
 3
 3 SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ
 uuur 3 uuur uuur 5 uuuur
a) Theo giả thiết ta có: BM = BC và AN = AM 
 4 7
 A
 uuuur uuur uuur uuur 3 uuur
suy ra AM = AB+ BM = AB+ BC 
 4
 N
 uuur 3 uuur uuur 1 uuur 3 uuur
 = AB+ AC - AB = AB+ AC B M C
 4 ( ) 4 4
 uuur uuur uuur uuur 5 uuuur
 BN = BA + AN = - AB+ AM
 7
 uuur 5 æ1 uuur 3 uuurö 23 uuur 15 uuur
 = - AB+ ç AB+ AC÷= - AB+ AC
 7 èç4 4 ø÷ 28 28
 uuur uur uuur r uuur uuur uur
b) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên GA + GB+ GC = 0 suy ra GC = - GA- GB
 uuuur 2 uuuur 2 æ1 uuur 3 uuurö
Ta có MN = - AM = - ç AB+ AC÷
 7 7 èç4 4 ø÷
 1 uur uuur 3 uuur uuur
 = - GB- GA - GC - GA
 14 ( ) 14 ( )
 1 uur uuur 3 uuur uur uuur
 = - GB- GA - - GA- GB- GA
 14 ( ) 14 ( )
 1 uuur 1 uur
 = GA + GB
 2 7
Bài 5. Cho hình bình hành ABCD . Gọi M, N lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh AB 
và CD sao cho AB = 3AM, CD = 2CN và G là trọng tâm tam giác MNB . Phân tích các 
 uuur uuuur uuur uuur uuur
vectơ AN, MN, AG qua các véc tơ AB và AC
 5 SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ
 uuur uuur
 c) Gọi I là điểm thỏa: MI = CM . Chứng minh I, A,N thẳng hàng. 
 Hướng dẫn giải
 uuuur 1 uuur
 a) Vì AM = AB suy ra M thuộc cạnh AB và 
 3
 1 uuur uuur
 AM = AB ; CN = 2BC , suy ra N thuộc tia BC 
 3
 và CN = 2BC .
 b) Ta có: 
 uuur uuur uuuur uuur 1 uuur 1 r r
 CM = CA + AM = - AC + AB = a- b
 3 3
 uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r r
 AN = AB+ BN = AB+ 3BC = AB+ 3(AC - AB) = - 2a + 3b
 uuuur uuur uuur 1 r r r 7 r r
 MN = MA + AN = - a- 2a + 3b = - a + 3b .
 3 3
 uur uuuur uuur 1 uuur uuur 1 r 1 r r 1 r r
c) Ta có: AI = AM + MI = AB+ CM = a + a- b = - (- 2a + 3b) 
 3 3 3 3
 uur 1 uuur
 Þ AI = - AN Þ A, I, N thẳng hàng.
 3
    
Bài 2. Cho 4 điểm O, A, B, C thỏa mãn OA  2OB  3OC  0 . Chứng minh 3 điểm A, B, C 
thẳng hàng.
 Hướng dẫn giải
Ta có
    
 OA  2OB  3OC  0
     
  OA  OC  2OB  2OC  0
    
  CA  2CB  0
  
  CA  2CB
Suy ra 3 điểm A, B, C thẳng hàng
 7 SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ
 Hướng dẫn giải
 a) ta có 
   
 AB  AC  2AI
   
 AD  AE  2AI
    
  AB  AC  AD  AE
      
b) AS  AB  AC  AD  AE  4AI 
    
Vì AS  4AI nên hai vectơ AS, AI cùng phương nên 3 điểm A, I, S thẳng hàng
    
Bài 5. Cho tam giác ABC, lấy các điểm M, N, P sao cho: MB  2MC , NA  2CN ,
   
 PA  PB  0 
    
a) Hãy phân tích PM , PN theo hai vectơ AB, AC 
b) Chứng minh 3 điểm M, N, P thẳng hàng
 Hướng dẫn giải
 a) Ta có 
   
 PM  PB  BM
 1  2 
  AB  AC
 2 3
 1  2  2 
  AB  AB  AC
 2 3 3
 1  2 
   AB  AC 1
 6 3
   
 PN  PA  AN
 1   
   AB  2AC 2
 2
 9 SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ
 Hướng dẫn giải
 Vì M là trung điểm của BC ta có 
  1 
 AM  AB  AC 1 
 2  
 Theo bài ra 4EI=3FI
  3 
  IE   IF
 4
   3  
  IA  AE   IA  AF
 4  
 7   3 
  IA  AE  AF
 4 4
  4  3 
  AI  AE  AF
 7 7
  4 1  3 2 
  AI  . AB  . AC
 7 2 7 3
  2  2 
  AI  AB  AC 2
 7 7
  4 
Từ (1) và (2) ta có AI  AM vậy 3 diểm A, I, M thẳng hàng.
 7
Bài 3. Cho hình bình hành ABCD. Gọi I là trung điểm của CD. Lấy điểm M trên đoạn BI 
sao cho BM=2MI. Chứng minh rằng 3 điểm A, M, C thẳng hàng. 
 Hướng dẫn giải
 Theo bài ra ta có
  
 BM  2MI
    
  AM  AB  2 AI  AM 
   
  3AM  2AI  AB 1
   
Vì I là trung điểm của CD nên 2AI  AC  AD thế vào (1) ta được
 11 SKKN: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp vectơ
  
 AC  kCB
     
  OC  OA  k OB  OC
   
  1 k OC  OA  kOB
  
  OA  kOB 
  OC  k  1
 1 k
III. Mức độ vận dụng thấp
Bài tập phần này độ khó tăng nên rõ ràng, bài tập phần này thường chưa tham số, và yêu 
cầu bài toán thường là tìm điều kiện của tham số để 3 điểm nào đó thẳng hàng
  2 
Bài 1: Cho tam giác ABC. Gọi D, E lần lượt là các điểm thỏa mãn BD  BC , 
 3
  1 
 AE  AC . Tìm vị trí điểm K trên AD sao cho 3 điểm B, K, E thẳng hàng.
 4
 Hướng dẫn giải
  
 Giả sử AK  mAD 
     1 
 Ta có BE  BA  AE  AB  AC 1 
 4
     
 BK  BA  AK  AB  mAD
     2m  
  AB  m AB  BD  m 1 AB  BC
   3
  2m  
  m 1 AB  AB  AC 
 3  
  m   2m 
   1 AB  AC 2 
  3  3
  m  2m 1 1
Để 3 điểm B, E, K thẳng hàng thì từ (1) và (2) ta có  1  :  m  . 
  3  3 4 3
 13