Sáng kiến kinh nghiệm Bồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối

I. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Toán học là một bộ môn khoa học tự nhiên mang tính logíc, tính trừu tượng cao. Trong chương trình Toán ở cấp THCS hiện nay thì phần lớn hệ thống câu hỏi và bài tập đã được biên soạn khá phù hợp với trình độ kiến thức và năng lực của số đông học sinh.Tuy vậy có một số bài tập đòi hỏi học sinh phải có năng lực học nhất định mới có thể nắm được, đó là dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Các bài toán này rất phổ biến trong các đề thi học sinh giỏi văn hóa các cấp, các đề thi giải toán trên máy tính cầm tay, các đề thi giải toán bằng tiếng Việt và đề thi giải toán bằng tiếng Anh qua mạng internet. Việc bồi dưỡng học sinh học Toán không đơn thuần chỉ cung cấp cho các em một số kiến thức cơ bản thông qua việc làm bài tập hoặc làm nhiều bài tập khó mà giáo viên phải biết phân chia theo từng kiểu loại bài tập và định hướng phương pháp giải cho từng dạng, đồng thời rèn luyện cho học sinh có thói quen suy nghĩ tìm tòi lời giải của một bài toán trên cơ sở các kiến thức đã học.
Qua nhiều năm thực tế giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi khối lớp 9, tôi nhận thấy học sinh còn lúng túng rất nhiều khi gặp phải dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối và thường mắc phải những sai sót khi giải dạng bài tập này, học sinh còn vướng mắc về phương pháp giải, quá trình giải thiếu logic và chưa chặt chẽ, chưa xét hết các trường hợp xảy ra. Lí do là học sinh chưa nắm vững quy tắc xét dấu của nhị thức bậc nhất, chưa phân biệt và chưa nắm được các phương pháp giải đối với từng dạng bài tập. Do đó người giáo viên cần phân loại được các dạng bài tập và định hướng phương pháp giải cho từng dạng để các em có thể vận dụng linh hoạt trong từng tình huống cụ thể, giúp học sinh hiểu sâu sắc bản chất của từng dạng toán và giải được các dạng bài toán một cách thành thạo. Từ đó rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải toán và tư duy sáng tạo.
Với những lý do trên đây, tôi chọn đề tài nghiên cứu: “Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối” với mong muốn được chia sẻ một vài kinh nghiệm của mình trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi để các đồng nghiệp tham khảo, rất mong nhận được sự góp ý chân thành của các đồng chí để đề tài được phát huy hiệu quả.
2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài
Đề tài: “Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối” giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn bản chất của từng dạng bài toán và nắm vững phương pháp giải của từng dạng, giúp cho học sinh biết phân loại và vận dụng phương pháp giải một cách linh hoạt và có hiệu quả. Qua đó giúp học sinh phát huy được tính tích cực và tinh thần sáng tạo trong học tập, phát triển năng lực tư duy toán học cho học sinh, tạo động lực thúc đẩy giúp các em học sinh có được sự tự tin trong học tập, hình thành phẩm chất sáng tạo khi giải toán và niềm đam mê bộ môn.
Thông qua đề tài này nhằm cung cấp những kiến thức cần thiết về phương pháp giải toán, những kinh nghiệm cụ thể trong quá trình tìm tòi lời giải giúp học sinh rèn luyện các thao tác tư duy lô-gic, phương pháp suy luận và khả năng sáng tạo cho học sinh. Trong đề tài lời giải được chọn lọc với cách giải hợp lí, chặt chẽ, dễ hiểu đảm bảo tính chính xác, tính sư phạm. Học sinh tự đọc có thể giải được nhiều dạng Toán cực trị, giúp học sinh có những kiến thức toán học phong phú để học tốt môn Toán và các môn khoa học khác.
3. Đối tượng nghiên cứu
 	Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
4. Giới hạn của đề tài
	Đề tài này được nghiên cứu trong khuôn khổ một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Đối tượng khảo sát: học sinh giỏi khối 9 trường THCS Lê Đình Chinh, xã Quảng Điền, huyện Krông Ana, tỉnh Đăk Lăk.
	Thời gian nghiên cứu: Qua các năm học: 2014 – 2015, 2015 – 2016 và 2017 - 2018
5. Phương pháp nghiên cứu
a) Nhóm phương pháp nghiên cứu lý luận
	- Nghiên cứu lí thuyết, tra cứu tài liệu tham khảo, nghiên cứu các tài liệu trên mạng internet, các bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối trong các đề thi học sinh giỏi các cấp qua các năm.
- Tiến hành phân theo từng dạng bài tập và đề xuất phương pháp giải cho từng thể loại bài tập.
- Đưa ra tập thể tổ chuyên môn thảo luận, thống nhất.
b) Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn
- Điều tra, khảo sát kết quả học tập của học sinh.
- Thực nghiệm trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi khối lớp 9 trường THCS Lê Đình Chinh, xã Quảng Điền, huyện Krông Ana, tỉnh Đăk Lăk qua các năm học: 2014 – 2015, 2015 – 2016 và 2017 - 2018
	- Đánh giá kết quả học tập của học sinh sau khi thực nghiệm giảng dạy
c) Phương pháp thống kê toán học:
- Thống kê kết quả học tập của học sinh sau khi áp dụng đề tài.
	- Đối chiếu so sánh giữa các năm học với nhau.
II. PHẦN NỘI DUNG
1. Cơ sở lí luận
Nhằm đáp ứng được mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, con đường duy nhất là nâng cao chất lượng học tập của học sinh ngay từ nhà trường phổ thông. Là giáo viên ai cũng mong muốn học sinh của mình tiến bộ, lĩnh hội kiến thức dễ dàng, phát huy tư duy sáng tạo, rèn tính tự học, thì môn Toán là môn học đáp ứng đầy đủ những yêu cầu đó. Việc học Toán không phải chỉ là học trong sách giáo khoa, không chỉ làm những bài tập do thầy, cô đưa ra mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tòi vấn đề, tổng quát hoá vấn đề và rút ra được những điều gì bổ ích. Dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối là dạng toán rất quan trọng trong chương đại số 9, đây là những bài toán khó thường xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi, các bài toán này rất phong phú về thể loại và về cách giải, đòi hỏi học sinh phải vận dụng nhiều kiến thức, linh hoạt trong biến đổi, sắc sảo trong lập luận và phát huy tối đa khả năng phán đoán. Với mục đích nhằm nâng cao chất lượng dạy và học Toán, tôi thiết nghĩ cần phải trang bị cho học sinh phương pháp giải cho từng kiểu loại bài tập. Để thực hiện tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh những kĩ năng như quan sát, phân tích, nhận dạng bài toán, lựa chọn phương pháp giải phù hợp. Từ đó, hình thành cho học sinh tư duy tích cực, độc lập, kích thích tò mò ham tìm hiểu và đem lại niềm vui cho các em, đồng thời khơi dậy cho các em sự tự tin trong học tập và niềm đam mê bộ môn. 
2. Thực trạng vấn đề nghiên cứu
Trong những năm qua, tôi đã trực tiếp tham gia bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi 9 của trường THCS Lê Đình Chinh và cũng đã trải nghiệm rất nhiều chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, trong đó có chuyên đề “Một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối” và tôi cũng đạt được thành tích trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi. Tuy nhiên, khi áp dụng chuyên đề trên còn nặng về phương pháp liệt kê các bài toán, chưa phát huy được hiệu quả học tập của học sinh. Chính vì vậy, để học sinh nắm vững và giải thành thạo các bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối thì giáo viên nên phân theo từng kiểu loại bài tập, mỗi loại bài tập phân theo từng dạng khác nhau, qua mỗi dạng có ví dụ minh chứng và xây dựng phương pháp giải chung cho từng dạng. Với những ý tưởng đó tôi đã thể hiện trong đề tài nghiên cứu “Kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối” sau khi đưa ra tập thể tổ chuyên môn thảo luận và áp dụng vào thực tiễn tôi nhận thấy rèn luyện được cho học sinh kĩ năng giải toán có khoa học, lập luận logic và chặt chẽ. Học sinh hứng thú, chủ động hơn trong học tập. 
3. Nội dung và hình thức của giải pháp
a) Mục tiêu của giải pháp 
	Đề tài “Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi về một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối” nhằm mục đích tìm tòi, tích lũy các đề toán ở nhiều dạng khác nhau trên cơ sở vận dụng được các kiến thức cơ bản đã học, trang bị cho học sinh giỏi lớp 9 một cách có hệ thống về phương pháp giải các dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối từ cơ bản đến nâng cao, giúp học sinh nhận dạng và đề ra phương pháp giải thích hợp trong từng trường hợp cụ thể, giúp học sinh có tư duy linh hoạt và sáng tạo. Tạo hứng thú, niềm đam mê, yêu thích các dạng toán có tính tư duy.
b) Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp
b.1. Loại bài tập vẽ đồ thị của hàm số có chứa biến trong dấu giá trị tuyệt đối
* Phương pháp giải 
Để vẽ đồ thị của hàm số có chứa biến trong dấu giá trị tuyệt đối ta xét các trường hợp để bỏ dấu giá trị tuyệt đối rồi vẽ đồ thị của hàm số trong từng trường hợp.
Lưu ý: Đồ thị của hàm số có chứa biến trong dấu giá trị tuyệt đối là một đường gấp khúc.
* Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Vẽ đồ thị của hàm số 
Giải
 + Với x < 0 thì y = -x
 + Với x 0 thì y = x
 Đồ thị của hàm số là đường gấp khúc mOn như trên hình vẽ
Nhận xét: 
 Khi thay x bởi –x, giá trị của hàm số không đổi nên đồ thị của hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng. Do đó sau khi vẽ đồ thị của hàm số ứng với x < 0 ta có thể lấy đối xứng qua trục tung phần đồ thị nói trên.
Ví dụ 2. Vẽ đồ thị của hàm số 
Giải
 + Với x < 0 thì y = -2x - 1
 + Với x 0 thì y = 2x - 1
 Đồ thị của hàm số là đường gấp khúc mAn như trên hình vẽ
Ví dụ 3. Vẽ đồ thị của hàm số 
Giải
 + Với x < 1 thì y = -x - 1
 + Với x 1 thì y = x - 1
 Đồ thị của hàm số là đường gấp khúc mAn như trên hình vẽ
Ví dụ 4. Vẽ đồ thị của hàm số 
Giải
 + Với x < 1 thì y = x + 1
 + Với x 1 thì y = -x + 3
 Đồ thị của hàm số là đường gấp khúc mAn như trên hình vẽ
Ví dụ 5. Vẽ đồ thị của hàm số 
Giải
 + Với x < thì y = 1
 + Với x thì y = 4x - 1
 Đồ thị của hàm số là đường gấp khúc mAn như trên hình vẽ
Ví dụ 6. Vẽ đồ thị của hàm số 
Lưu ý: Khi gặp dạng toán có nhiều dấu giá trị tuyệt đối thì trước hết ta cần lập bảng xét dấu của nhị thức bậc nhất và cần nắm vững định lý sau đây:
Nhị thức bậc nhất  ax + b cùng dấu với hệ số a khi x lớn hơn nghiệm và trái dấu với hệ số a khi x nhỏ hơn nghiệm của nó.
Giải
Bước 1: Lập bảng xét dấu 
x
 0 1
x
 - 0 + 
+
1 - x
 + 
 + 0 -
Bước 2: Dựa vào bảng xét dấu ta có các trường hợp xảy ra theo các khoảng giá trị của biến cụ thể như sau: 
 + Với x < 0 thì y = -x + (1 - x) hay y = -2x + 1
 + Với thì y = x + (1 - x) hay y = 1
 + Với x > 1 thì y = x + (x - 1) hay y = 2x - 1
 Đồ thị của hàm số là đường gấp khúc mABn như trên hình vẽ
Ví dụ 7. (Trích đề thi học sinh giỏi Toán 9 huyện Krông Ana khóa thi ngày 09/02/2015)
Vẽ đồ thị của hàm số 
Giải
Bước 1. Lập bảng xét dấu 
x
 2 3
 x - 2
 - 0 + 
+
x - 3
 - 
 - 0 +
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu ta có các trường hợp xảy ra theo các khoảng giá trị của biến cụ thể như sau: 
 + Với x < 2 thì y = (2 – x) + (3 - x) hay y = -2x + 5
 +Với thì y = (x – 2)+(3 - x) hay y = 1
 + Với x > 3 thì y = (x – 2)+(x - 3) hay y = 2x - 5
 Đồ thị của hàm số là đường gấp khúc mABn như trên hình vẽ
b.2. Loại bài tập giải phương trình có chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
Để giải tốt phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, yêu cầu học sinh cần phải nắm vững một số vấn đề lý thuyết liên quan đến giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối cụ thể như sau:
- Qui tắc bỏ dấu ngoặc, qui tắc chuyển vế.
- Cách tìm nghiệm x trong phương trình: Thực hiện phép tính , chuyển vế, đưa phương trình về dạng ax = b x =
- Nắm vững định nghĩa và tính chất về giá trị tuyệt đối.
|A| = |-A|
|A| ³ 0| 
- Định lí về dấu nhị thức bậc nhất: 
Nhị thức bậc nhất  ax + b cùng dấu với hệ số a khi x lớn hơn nghiệm và trái dấu với hệ số a khi x nhỏ hơn nghiệm của nó.
Bên cạnh những yêu cầu trên, học sinh cần nhận biết được những dạng cơ bản của phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối, đồng thời nắm vững phương pháp giải cụ thể cho từng dạng bài tập, cụ thể như sau:
Dạng 1. Phương trình dạng 
 Trong đó A(x) là biểu thức chứa x và k R.
 Ở dạng này yêu cầu học sinh cần nắm rõ vế trái là một biểu thức không âm. Nếu k 0 ta tìm cách bỏ dấu giá trị tuyệt đối rồi giải phương trình vừa tìm được.
* Phương pháp giải 
Trường hợp k > 0:
Từ đó ta lần lượt giải hai phương trình A(x) = k và A(x) = -k rồi kết luận nghiệm.
* Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1. Giải phương trình 
Giáo viên đặt câu hỏi cho bài toán: Đẳng thức có xảy ra không? Vì sao? (có xảy ra vì ³ 0, 5>0). 
Cần áp dụng kiến thức nào để bỏ được dấu giá trị tuyệt đối? (áp dụng tính chất giá trị tuyệt đối của hai số đối nhau thì bằng nhau).
Giải
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là 
Ví dụ 2. Giải phương trình: 
Giải
Đẳng thức không xảy ra vì ³ 0 và -1<0
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
Ví dụ 3. Giải phương trình 3|9 - 2x| - 17 = 16
Với bài này nên đặt câu hỏi: Làm thế nào để đưa được về dạng cơ bản đã học? Từ đó học sinh phải biến đổi để đưa về dạng |9 - 2x |= 11
Giải 
3|9 - 2x| - 17 = 16 3|9 - 2x| = 33 |9 - 2x| = 11 
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là 
Ví dụ 4. Giải phương trình - 2 = 0
Giải
Điều kiện xác định của phương trình là x 0.
 (thỏa mãn)
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là 
Dạng 2. Phương trình dạng |A(x)| = B(x) 
 Trong đó A(x); B(x) là các biểu thức chứa x. 
Cũng đặt câu hỏi gợi mở như ở dạng 1, học sinh thấy được rằng đẳng thức không xảy ra Nếu B(x) < 0. Do đó để đẳng thức luôn xảy ra cần phải đặt điều kiện: B(x) ³ 0 
* Phương pháp giải 
Cách 1: Đặt điều kiện: B(x) ³ 0. Từ đó suy ra điều kiện của x
Ta có |A(x)| = B(x) 
Từ đó ta lần lượt giải hai phương trình A(x) = B(x) và A(x) = - B(x), sau đó đối chiếu với điều kiện rồi kết luận nghiệm.
Cách 2: Dựa vào định nghĩa xét các quá trình của biến của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
	|A(x) | = B(x)
+ Xét A(x) ³0. Từ đó suy ra điều kiện của x
Ta có A(x) = B(x) ( giải để tìm x thoả mãn A(x) ³0)
+ Xét A(x) < 0. Từ đó suy ra điều kiện của x
Ta có A(x) = - B(x) ( giải để tìm x thoả mãn A(x) < 0)
+ Kết luận nghiệm.
* Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải phương trình |9 - 7x| = 5x -3
Giải
Cách 1: Điều kiện: 5x – 3 ≥0 5x ³ 3 x³ 
Ta có  9 - 7x = 5x - 3 hoặc 9 – 7x = - (5x - 3)
+ Nếu 9 - 7x = 5x - 3 12x = 12 x = 1 (thoả mãn điều kiện)
+ Nếu 9 - 7x = -(5x - 3) 2x = 6 x = 3 (thoả mãn điều kiện)
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là 
Cách 2: 
Với 9 - 7x ³ 0 hay x ≤ thì ta có phương trình: 9 – 7x = 5x – 3 
 x = 1 (thoả mãn điều kiện)
Với 9 - 7x thì ta có phương trình: -9 + 7x = 5x – 3 
x = 3 (thoả mãn điều kiện)
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là 
Ví dụ 2. Giải phương trình |x- 5| - x = 3
Giải
Cách 1: | x – 5| - x = 3 |x – 5| = 3 + x
Điều kiện: 3 + x ³ 0 x ³ - 3 
Ta có x- 5 = 3 + x hoặc x – 5 = -(3 + x)
+ Nếu x – 5 = 3 + x 0x = 8( loại)
+ Nếu x – 5 = -3 – x 2x = 2 x = 1 (thoả mãn điều kiện).
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là 
Cách 2: | x – 5| - x = 3
Với x - 5³0 hay x³ 5 thì ta có phương trình: x – 5 – x = 3 0x = 8 (loại)
 	Với x – 5 < 0 hay x < 5 thì ta có phương trình: –x + 5 – x = 3 -2x = -2 
 x = 1 (thoả mãn điều kiện) 
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là 
Lưu ý: Qua hai dạng trên, cần nhấn mạnh cho học sinh phân biệt rõ sự giống nhau (đều chứa một dấu giá trị tuyệt đối ) và khác nhau là dạng 1 là trường hợp đặc biệt của dạng 2. Thông qua đó nhấn mạnh cho học sinh thấy rõ được phương pháp giải loại đẳng thức chứa một dấu giá trị tuyệt đối , đó là đưa về dạng = B. Nếu B0 đó là dạng đặc biệt (dạng 1), còn B<0 thì đẳng thức không xảy ra . Nếu B là biểu thức có chứa x thì đó là dạng 2 và giải bằng cách 1 hoặc ta đi xét các trường hợp xảy ra đối với biểu thức trong giá trị tuyệt đối. 
Ví dụ 3. (Trích đề thi học sinh giỏi Toán 9 huyện Krông Ana khóa thi ngày 10/02/2012)
1. Giải các phương trình sau: a) 
 b) 
2. Dùng đồ thị để kiểm tra lại các kết luận trong câu 1.
Giải
a) 
Với x 0 thì ta có phương trình: x = 2x - 1x = 1 (thoả mãn điều kiện).
Với x < 0 thì ta có phương trình: -x = 2x - 1 (loại).
Vậy nghiệm của phương trình là x = 1
b) 
Nếu x 0 thì x = -x - 5(loại).
Nếu x < 0 thì -x = -x - 50x = -5 (vô nghiệm).
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
2. Vẽ đồ thị của hai hàm số và y = 2x – 1 trên cùng một hệ trục tọa độ. Giao điểm của hai đồ thị trên là điểm (1; 1). Do đó nghiệm của phương trình là x = 1
Vẽ tiếp đồ thị của hàm số y = -x – 5 ta thấy đồ thị của hai hàm số và y = -x – 5 không cắt nhau. Do đó phương trình vô nghiệm.
Dạng 3. Phương trình dạng = 0 
 Trong đó A(x); B(x) là các biểu thức chứa x.
Với dạng này yêu cầu học sinh nhắc lại kiến thức về đặc điểm của giá trị tuyệt đối của một số (giá trị tuyệt đối của một số là một số không âm).Vậy tổng của hai số không âm bằng không khi nào? (cả hai số bằng 0). Vậy ở bài này tổng trên bằng 0 khi nào? (A(x) = 0 và B(x) =0). Từ đó ta tìm x thoả mãn hai điều kiện: A(x) = 0 và B(x) = 0.
* Phương pháp giải 
 = 0 
Từ đó ta lần lượt giải hai phương trình f(x) = 0 và g(x) = 0 
Sau đó ta tìm x thỏa mãn đồng thời hai điều kiện A(x) = 0 và B(x) = 0 rồi kết luận nghiệm.
* Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1, Giải phương trình = 0
Giải
	 = 0 
	 (Điều này không đồng thời xãy ra)
	Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 2. Giải phương trình 
Giải.
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là 
	Ví dụ 3. Giải các phương trình sau:
a) 
b) 
Giải
a) 
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là 
b) 
 (Điều này không đồng thời xảy ra)
	Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Lưu ý: Ở dạng này cần lưu ý học sinh khi kết luận nghiệm của phương trình thì nghiệm đó phải thỏa mãn đồng thời cả hai phương trình và 
Dạng 4. Phương trình dạng = k 
 	 Trong đó A(x); B(x) là các biểu thức chứa x; kR; k0.
Ở dạng này yêu cầu học sinh cần nắm rõ vế trái là một biểu thức không âm. Nếu k 0 ta tìm cách bỏ dấu giá trị tuyệt đối rồi giải phương trình vừa tìm được.
* Phương pháp giải 
-Lập bảng xét dấu.
-Dựa vào bảng xét dấu, xét các trường hợp xảy ra theo các khoảng giá trị của biến. 
-Kết luận nghiệm.
* Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải phương trình: = 1 
Giải 
Bước 1. Lập bảng xét dấu 
x
 2 9
 x - 2
 - 0 + 
 +
x - 9
 -
 - 0 +
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu các trường hợp xảy ra theo các khoảng giá trị của biến. Khi xét các trường hợp xảy ra không được bỏ qua điều kiện để A (x) = 0 mà kết hợp với điều kiện để A >0 ( ví dụ 2 x <9). Cụ thể: Dựa vào bảng xét dấu ta có các trường hợp sau: 
Với x < 2 thì ta có phương trình: 
 (loại)
Với thì ta có phương trình: x – 2 + 9 – x = 1 
. Phương trình vô nghiệm.
Với thì ta có phương trình: (loại)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 2. Giải phương trình |x - 3| + |x + 2| =7	
Giải. 
Giải tương tự như ví dụ 1
x
 -2 3
 x + 2
 - 0 + 
 +
x - 3
 -
 - 0 +
Với x < -2 thì ta có phương trình: 3 - x – x –2 = 7 -2x + 1 = 7 
-2x = 6 x = -3 (thỏa mãn)
Với - thì ta có phương trình: 3 - x + x + 2 = 7 
 0x + 5 = 7 (vô nghiệm)
Với thì ta có phương trình: x - 3 + x + 2 = 7 2x – 1 = 7 
 2x = 8 x = 4 (thoả mãn )
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là 
Ví dụ 3. (Trích đề thi học sinh giỏi Toán 9 huyện Krông Ana khóa thi ngày 25/02/2010)
Giải phương trình: 
Giải. 
Thực hiện tương tự như ví dụ 1 và ví dụ 2
x
 -1 2 3
x + 1
 - 0 +
 +
+
x - 2
 -
 - 0 +
+
3 - x
 +
 +
 + 0 -
Với x < -1 thì ta có phương trình: -x - 1 + 2 – x + x - 3 = 2010 
 x = -2012 (thỏa mãn)
Với thì ta có phương trình: x + 1 + 2 – x + x - 3 = 2010 
 x = 2010 (loại)
Với thì ta có phương trình: x + 1 + x - 2 + x - 3 = 2010 
 x = (loại)
Với thì ta có phương trình: x + 1 + x - 2 - x + 3 = 2010 
 x = 2008 (thoả mãn )
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là 
Dạng 5. Phương trình dạng 
 Trong đó A(x); B(x); C(x) là các biểu thức chứa x. 
* Phương pháp giải 
Sử dụng phương pháp giải như ở dạng 4
* Ví dụ minh họa
Giải phương trình 
Giải 
x
 -3 5
 x + 3
 - 0 + 
 +
x – 5
 -
 - 0 +
Với x < -3 thì ta có phương trình: 5 - x - x - 3 = 3x - 1 -5x = - 3 
 (loại)
Với thì ta có phương trình: 5 - x + x + 3 = 3x - 1 
 -3x = - 9 (thoả mãn )
Với thì ta có phương trình: x - 5 + x + 3 = 3x - 1 x = - 1 (loại)
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là 
Dạng 6. Phương trình dạng hay 
 Trong đó A(x); B(x) là các biểu thức chứa x. 
Ở dạng này cần nhấn mạnh cho học sinh thấy đẳng thức luôn xảy ra vì cả hai vế đều không âm, từ đó áp dụng tính chất: “Hai số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nh