Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán về đường tròn trong Hình học 9

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
PHÒNG GD&ĐT THỌ XUÂN
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH 
VẼ THÊM YẾU TỐ PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRÒN TRONG HÌNH HỌC 9
Người thực hiện: Mai Thị Thanh Huyền
Chức vụ: Hiệu trưởng
Đơn vị công tác: Trường THCS Xuân Tân -Thọ Xuân
SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán
THANH HOÁ NĂM 2018
MỤC LỤC
Mục
Nội dung
Trang
PHẦN I: MỞ ĐẦU
1
I.
Lí do chọn đề tài.
1
II
Mục đích nghiên cứu.
2
III
Đối tượng nghiên cứu
2
IV
Phương pháp nghiên cứu.
2
PHẦN II: NỘI DUNG
3
I.
Cơ sở lí luận.
3
II
Thực trạng vấn đề.
3
III
Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
4
1
C¸ch vÏ ®êng phô vµ vai trß cña ®ưêng phô trong to¸n chøng minh
4
2
Mét sè lo¹i ®êng phô thưêng vÏ
5
3
Mét sè kiÕn thøc liªn quan
5
4
Mét sè bµi tËp øng dông
7
IV
Hiệu quả của sáng kiến
16
PHẦN III: KẾT LUẬN
17
Tài liệu tham khảo.
18
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT 
STT
Các chữ viết tắt
trong sáng kiến kinh nghiệm
Nội dung
1
THCS
Trung học cơ sở
2
SGK
Sách giáo khoa
3
THPT
Trung phổ thông
4
SKKN
Sáng kiến kinh nghiệm
5
Max
Lớn nhất
PHẦN I: MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Cùng với sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng đổi mới không ngừng, các nhà trường ngày càng chú trọng đến chất lượng giáo dục toàn diện. Với vai trò là môn học công cụ, bộ môn Toán đã góp phần tạo điều kiện cho các em học tốt các môn học khác. Việc giảng dạy môn Toán ở nhà trường không chỉ nhằm truyền thụ cho học sinh những kiến thức cơ bản về Toán học mà còn trang bị cho các em công cụ sắc bén để nghiên cứu thế giới tự nhiên.
Khi học Toán, đa số các em học sinh đều ngại học Hình học. Bởi vì, để học tốt Hình học thì đòi hỏi các em phải có khả năng tư duy tốt, tính sáng tạo cao, trí tưởng tượng phong phú, đặc biệt là thực sự say mê nghiên cứu, tìm tòi học hỏi.
Đối với giáo viên, để truyền đạt cho học sinh hiểu được một cách chặt chẽ về một bài Hình học là không đơn giản. Dạy học như thế nào để học sinh không những nắm được kiến thức cơ bản một cách có hệ thống mà còn phải nâng cao, phát triển để các em hứng thú, say mê học tập. Đó là vấn đề mà mỗi giáo viên cần quan tâm, trăn trở.
Trong khi tìm phương pháp giải các bài toán hình học, có lúc việc vẽ thêm các yếu tố phụ làm cho việc giải toán trở nên dễ dàng hơn, thuận lợi hơn. Thậm chí, có bài phải vẽ thêm yếu tố phụ thì mới tìm ra được lời giải. Tuy nhiên vẽ thêm yếu tố phụ như thế nào là điều khiến chúng ta phải đầu tư suy nghĩ. Thực tế cho thấy không có phương pháp chung cho việc vẽ thêm các yếu tố phụ khi giải các bài toán hình học. Việc vẽ hình phụ rất đa dạng, không theo khuôn mẫu nhất định nào và đòi hỏi học sinh phải biết dự đoán tốt trên cơ sở các suy luận. Tuỳ từng bài toán cụ thể, chúng ta có những cách vẽ thêm các đường phụ hợp lý để có thể đưa đến những cách giải hay và độc đáo. Một trong những chuyên đề hình học lớp 9 mà thường xuyên phải vẽ đường phụ khi làm toán, đó là bài toán về đường tròn. Trong quá trình dạy lớp 9 và ôn thi vào lớp 10 tôi nhận thấy nhiều học sinh lúng túng, bế tắc khi giải các bài toán về: sự xác định đường tròn, vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn hoặc của hai đường tròn, tiếp tuyến của đường tròn,... Vì vậy tôi đã tìm cách giúp các em tháo gỡ khó khăn, hình thành kỹ năng giải toán, làm cho các em có hứng thú và niềm tin trong học tập. Tôi mạnh dạn trình bày đề tài: “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán về đường tròn trong Hình học 9” để các bạn đồng nghiệp tham khảo, góp ý.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
- Trang bị cho học sinh lớp 9 một cách có hệ thống các dạng yếu tố phụ thường vẽ thêm khi bài toán cho ở dạng nào, nhằm giúp cho học sinh có khả năng vận dụng tốt dạng toán này.
- Phát huy được tính tích cực, chủ động sáng tạo, phát triển khả năng tư duy, năng lực tự học của học sinh. Tạo điều kiện cho các em hứng thú, say mê bộ môn.
- Thấy được vai trò của việc vẽ thêm yếu tố phụ vào giải toán từ đó giúp học sinh có kĩ năng thành thạo trong việc giải các bài toán về đường tròn.
- Đào tạo nguồn nhân lực có tri thức vững vàng, ứng dụng được kiến thức vào thực tiễn cuộc sống.
III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:
 	Kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán về đường tròn trong Hình học 9.
IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
* Phương pháp nghiên cứu lý luận:
- Nghiên cứu qua các tài liệu về phương pháp dạy học Toán và các tài liệu có liên quan đến nội dung đề tài: Sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập và các tài liệu tham khảo khác dành cho giáo viên và học sinh.
- Nghiên cứu và hệ thống các kiến thức cơ bản về vẽ đường phụ trong giải toán hình học ở bậc THCS. Cụ thể là các tài liệu rất thiết thực đối với học sinh như:
         	+ Sách giáo khoa.
          + Sách giáo viên.
          	+ Sách bồi dưỡng thường xuyên và các tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh
*Phương pháp điều tra, khảo sát.
 Qua kiểm tra, đánh giá kết quả học tập của học sinh, thu thập được các số liệu phản ánh thực trạng tiếp thu kiến thức để nghiên cứu.
* Phương pháp thử nghiệm: Nghiên cứu qua các tiết dạy trên lớp, qua việc thực hành giải toán của học sinh và qua khảo sát.
* Phương pháp tư vấn: Tham khảo ý kiến các đồng nghiệp có kinh nghiệm trong quá trình xây dựng, hoàn thiện đề tài.
PHẦN II: NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÍ LUẬN
	Trong quyết định số 16/2006/QĐ – BGD&ĐT ngày 05 tháng 5 năm 2006 có đoạn viết: “Phương pháp dạy học toán trong nhà trường các cấp phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động của người học, hình thành và phát triển năng lực tự học, trau dồi các phẩm chất linh hoạt, độc lập, sáng tạo của tư duy”. Trích: “Quyết định ban hành chương trình giáo dục phổ thông” năm 2006. Vì vậy, việc dạy học theo chương trình mới nhằm mục tiêu đào tạo con người mới ứng với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học kĩ thuật trong đó Toán học là một bộ môn khoa học được coi là chủ lực. Bởi trước hết, Toán học hình thành cho các em tính chính xác, khoa học, hệ thống, sáng tạo và tư duy lôgic. Vì thế, nếu chất lượng dạy và học Toán được nâng cao thì có nghĩa chúng ta đã tiếp cận với nền tri thức hiện đại, giàu tính nhân văn của nhân loại.
          Cùng với sự đổi mới nội dung dạy học, chương trình sách giáo khoa, phương pháp dạy học đang được đổi mới theo hướng tích cực hoá, phát huy tính tích cực, tự giác, sáng tạo của người học nhằm nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, hình thành và rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Bản thân nhận thức được tầm quan trọng của việc đổi mới phương pháp dạy học nói chung và giảng dạy môn Toán nói riêng, trong những năm được phân công giảng dạy môn Toán 9 theo chương trình hiện hành tôi nhận thấy nội dung “vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán Hình học ” là nội dung quan trọng. Các bài toán hình học có lời giải phải vẽ thêm đường phụ là dạng toán khó đối với học sinh THCS. Bởi vì để giải các bài toán dạng này không chỉ yêu cầu học sinh nắm vững kiến thức mà còn đòi hỏi học sinh cần có một kĩ năng giải toán nhất định, có sự sáng tạo nhất định. Để tạo ra được một đường phụ liên kết tường minh các mối quan hệ toán học giữa các điều kiện đã cho (giả thiết) với điều kiện cần phải tìm (kết luận) đòi hỏi phải thực hiện các thao tác tư duy: Phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hóa, đặc biệt hóa, hay nói cách khác một bài toán phải vẽ thêm đường phụ là một sáng tạo nhỏ. Vẽ thêm đường phụ để giải một bài toán hình về mặt phương pháp là một biểu hiện ở mức độ cao của kĩ năng, thể hiện các tình huống hình học phù hợp với một định nghĩa, định lý nào đó hay còn gọi là “quy lạ về quen”. Ở đó khoảng cách từ lạ đến quen càng xa thì mức độ sáng tạo càng lớn. Do đó, việc học tốt các bài toán có lời giải phải vẽ thêm đường phụ có tác dụng rất lớn trong việc phát triển năng lực trí tuệ và tư duy khoa học của học sinh.
II. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ
	Giải bài toán hình học có vẽ thêm đường phụ đòi hỏi phải thực hiện nhiều thao tác tư duy. Vì vậy, phải rèn luyện học sinh về mặt tư duy hình học thật phát triển. Thực tế, khi chứng minh định lý trong sách giáo khoa (SGK) việc vẽ đường phụ rất ít đề cập, việc giải các bài toán ở trên lớp cũng rất hiếm khi có. Tuy nhiên, các bài tập trong SGK cũng đưa ra khá nhiều dạng, các bài tập nâng cao lại là những bài toán khi giải cần phải vẽ thêm đường phụ. Các tài liệu viết riêng về loại toán này cũng rất hiếm cho nên việc tham khảo đối với học sinh còn gặp nhiều khó khăn. Kết quả kiểm tra chương I, môn Toán lớp 9B năm học 2016-2017 trước khi áp dụng đề tài như sau:
Lớp
Sĩ 
số
Điểm
0-<3,0
Tỉ 
lệ
%
Điểm
3,0-<5,0
Tỉ
 lệ
%
Điểm
5,0-<7,0
Tỉ 
lệ
%
Điểm
7,0-< 9,0
Tỉ 
lệ
%
Điểm
9.0-10
Tỉ 
lệ
%
9B
40
6
15
22
55
11
27,5
1
2,5
0
0
Kết quả trên cho thấy khả năng vẽ thêm yếu tố phụ vào giải toán của học sinh chưa cao. Qua tìm hiểu tôi nhận thấy đây là dạng khó đối với các em học sinh lớp 9. Chương trình SGK bậc THCS nói chung và  lớp 9 nói riêng  lại đề cập rất ít về chuyên đề này, các bài tập đưa ra chưa đầy đủ và phong phú, chưa được phân dạng cụ thể cũng như chưa hình thành cách giải biểu trưng cho từng dạng. Cũng chính vì những nguyên nhân này mà khi giải các dạng bài tập có liên quan đến vẽ thêm yếu tố phụ học sinh rất lúng túng, không nắm được các dạng yếu tố phụ cần vẽ, dễ mắc sai lầm trong quá trình giải.
Từ thực trạng trên tôi luôn trăn trở và cố gắng tìm ra giải pháp để giảng dạy cho học sinh nội dung này một cách có hiệu quả nhất. Trong năm học 2016 – 2017 tôi nghiên cứu và đưa vào đề tài giải pháp giảng dạy sát với thực tế và truyền đạt một cách có hệ thống cho học sinh các dạng yếu tố phụ, cách vẽ thêm yếu tố phụ trong từng trường hợp cũng như các loại yếu tố phụ thường gặp trong chương trình toán 9. Mong rằng những giải pháp thiết thực này sẽ giúp các em có kỹ năng vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán một cách linh hoạt hơn.
Ngoài việc giúp và yêu cầu học sinh nhớ các kiến thức liên quan một cách có hệ thống, tôi còn chú trọng vào các giải pháp: phân loại thành từng dạng bài tập, chú trọng rèn luyện kỹ năng vận dụng thông qua các ví dụ và các bài tập áp dụng, chỉ ra những sai lầm thường gặp nhằm khắc phục những thiếu sót trong quá trình giải toán. Đó là những biện pháp mang lại hiệu quả cao cho việc dạy học nội dung này.
Vì vậy, việc hướng dẫn học sinh lớp 9 vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán về đường tròn là việc làm hết sức cần thiết giúp cho học sinh nắm vững các kĩ năng khi giải toán làm tiền đề cho các em học tốt môn Toán bậc THPT.
III. CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ DÙNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Cách vẽ đường phụ và vai trò của đường phụ trong toán chứng:
	Khi giải một bài toán chứng minh Hình học, trừ một số bài toán dễ, còn lại phần lớn các bài toán đều cần phải vẽ thêm đường phụ mới chứng minh được. Vậy vẽ đường phụ thế nào và vẽ để nhằm mục đích gì? Đó là điều mà người học cần phải biết đối với mỗi bài toán cụ thể. Không thể có một phương pháp chung cho việc vẽ đường phụ trong bài toán chứng minh Hình học, ngay đối với một bài toán cũng có thể có những cách vẽ đường phụ khác nhau tùy thuộc vào cách giải bài toán.
* Một số cách vẽ đường phụ:
- Vẽ đường phụ để tạo mối liên hệ giữa các diều kiện đã cho hoặc giữa các yếu tố trong kết luận của bài toán với nhau.
- Vẽ thêm đường phụ để tạo ra yếu tố trung gian có tính chất bắc cầu giữa các yếu tố cần chứng minh hoặc cần so sánh với nhau.
- Vẽ đường phụ để tạo nên một hình mới, biến đổi bài toán để bài toán dễ chứng minh.
- Vẽ thêm những đại lượng bằng nhau hoặc thêm vào những đại lượng bằng nhau mà đề bài đã ra để tạo mối liên hệ giữa các đại lượng cần chứng minh giúp cho việc chứng minh được dễ dàng.
- Vẽ thêm đường phụ để bài toán có thể áp dụng một định lí nào đó.
* Những điểm cần lưu ý khi vẽ đường phụ:
- Vẽ đường phụ phải có mục đích, không vẽ tùy tiện. Phải nắm thật vững đề bài, định hướng chứng minh. Từ đó mà tìm xem cần vẽ đường phụ nào phục vụ cho mục đích chứng minh của mình.
- Vẽ đường phụ phải chính xác và tuân thủ theo đúng các phép dựng hình cơ bản.
- Với một bài toán nhưng vẽ đường phụ khác nhau thì cách chứng minh cũng khác nhau.
	Có nắm được kiến thức cơ bản một cách chắc chắn, biết vận dụng linh hoạt mới biết khai thác dữ liệu của bài toán mà tìm cách vẽ đường phụ thích hợp để giải toán. Như vậy, vẽ đường phụ cũng là một kĩ năng trong giải toán Hình học.
2. Một số loại đường phụ thường vẽ:
a) Kéo dài một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước hay đặt một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước.
b) Vẽ thêm một đường thẳng song song với đường thẳng cho trước từ một điểm cho trước.
c) Từ một điểm cho trước dựng một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng xác định.
d) Dựng đường phân giác của một góc cho trước.
e) Dựng các đường đặc biệt trong tam giác (đường trung tuyến, đường trung bình, đường cao, đường phân giác).
f) Vẽ bán kính, đường kính trong đường tròn.
g) Vẽ tiếp tuyến, cát tuyến của đường tròn hoặc tiếp tuyến chung của hai đường tròn.
h) Vẽ đường tròn mới.
3 Một số kiến thức liên quan:
3.1. Các bài toán dựng hình cơ bản trong chương trình Toán THCS
a. Dựng đường trung trực của một đoạn thẳng
Cho trước đoạn thẳng AB. Để dựng đường trung trực của AB, chúng ta làm như sau:
- Lấy A và B làm tâm, dựng hai đường tròn có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại hai điểm.
- Nối hai giao điểm của hai đường tròn này lại chúng ta sẽ có đường trung trực của AB.
B
A
.
.
b. Dựng trung điểm của một đoạn thẳng
M
B
A
.
.
.
Cho trước đoạn thẳng AB. Để dựng trung 
điểm của AB, chúng ta làm như sau:
- Dựng đường trung trực của AB.
- Đường trung trực cắt AB tại điểm M là trung điểm của AB.
c. Qua một điểm, dựng đường thẳng vuông 
góc với một đường thẳng cho trước
 Cho trước đường thẳng ℓ và một điểm A.
Để dựng đường thẳng đi qua A vuông góc 
với ℓ, chúng ta làm như sau:
- Lấy A làm tâm dựng một đường tròn sao cho đường tròn cắt đường thẳng ℓ tại hai điểm B và C.
- Dựng đường trung trực của BC, đây chính là đường thẳng đi qua A vuông góc với ℓ.
d. Qua một điểm, dựng đường thẳng song 
song với một đường thẳng
Cho trước đường thẳng ℓ và một điểm A.
Để dựng đường thẳng đi qua A song song với ℓ, chúng ta làm như sau:
- Dựng đường thẳng t đi qua A vuông góc với ℓ.
- Dựng đường thẳng u đi qua A vuông góc với t, đường thẳng u chính là đường thẳng đi qua A song song với ℓ.
e. Dựng đường phân giác của một góc
Cho trước góc xOy, để dựng đường phân giác của góc này, chúng ta làm như sau:
- Lấy O làm tâm dựng một đường tròn cắt Ox và Oy tại A và B.
- Dựng đường trung trực của AB, đây chính là đường phân giác của góc xOy.
f. Dựng một góc bằng một góc cho trước
Cho trước góc xOy và tia Aℓ, để dựng đường thẳng qua A hợp với Aℓ một 
góc bằng góc xOy, chúng ta làm như sau:
- Lấy trên tia Aℓ một điểm B;
- Vẽ (O;AB) cắt Ox và Oy tại D và C;
- Vẽ đường tròn (A; AB) và đường tròn (B;CD), hai đường tròn này cắt nhau tại E và F.
- Hai góc EAℓ và FAℓ bằng góc xOy.
g. Dựng tiếp tuyến đến đường tròn
 Cho trước một đường tròn tâm O và một điểm A nằm ở bên ngoài đường tròn, để dựng đường thẳng qua A tiếp tuyến với đường tròn (O), chúng ta làm như sau:
- Dựng trung điểm B của OA;
- Vẽ (B;AB), đường tròn này cắt (O) tại hai điểm C và D;
- Hai đường thẳng AC và AD chính là tiếp tuyến của đường tròn (O).
h. Dựng một tam giác biết độ dài ba cạnh của nó là a, b, c
Cho trước một tam giác biết độ dài ba cạnh của nó là a, b, c. Để dựng một tam giác bằng tam giác đã cho ta làm như sau:
- Dựng tia Bx;
- Dựng đường tròn (B;c). Gọi C là giao điểm của đường tròn (B;c) với tia Ax;
- Dựng đường tròn (B;a) và đường tròn (C;b), gọi A là giao điểm của chúng. Tam giác ABC là tam giác cần dựng vì có AB = a; AC = b; BC = c.
B
x
C
c
A
a
b
 	Trên đây là các bài toán dựng hình cơ bản, khi áp dụng ta không cần nêu lại cách dựng. Khi cần vẽ thêm yếu tố phụ để chứng minh thì cũng phải căn cứ vào những đường cơ bản đã dựng để vẽ thêm không nên vẽ thêm một
 cách tùy ý.
3.2. Các kĩ năng cơ bản
* Kĩ năng 1:	
	Trong một đường tròn:
a) Nếu có trung điểm của một dây cung thì lưu ý nối trung điểm đó với tâm.
b) Muốn có trung điểm của một dây, ta cần chú ý hạ đường vuông góc từ tâm đến dây ấy.
* Kĩ năng 2 
a) Những bài tập có tiếp tuyến với đường tròn ta chú ý nối tâm với tiếp điểm.
b) Bài toán có hai tiếp tuyến giao nhau ta chú ý nối giao điểm của hai tiếp tuyến đó với tâm hoặc nối hai tiếp điểm.
* Kĩ năng 3
Bài toán có hai đường tròn cắt nhau ta chú ý nối tâm và vẽ thêm dây chung của chúng.
* Kĩ năng 4
a) Bài toán có hai đường tròn tiếp xúc nhau ta chú ý vẽ đường nối tâm.
b) Bài toán có hai đường tròn tiếp xúc ngoài chú ý kẻ thêm tiếp tuyến chung trong hoặc kẻ thêm đường nối tâm.
4.Một số bài tập ứng dụng:
Bài 1
Cho AB là dây cung của đường tròn (O;R) (AB ≠2R). C làm điểm trên tia đối của tia AB.
Chứng minh rằng điểm C nằm ngoài đường tròn (O;R)
Gợi ý
- Cần chứng minh: điểm C nằm ngoài đường tròn (O;R) OC >R. Điều này cho ta nghĩ đến OC > OA.
- Đường phụ OH ^ AB (HÎAB) để vận dụng quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu mà có OC > OA
Giải
-Vẽ OH ^ AB, HÎAB.
-Ta có: HC > AB (vì C là điểm trên tia đối của tia AB, H thuộc đoạn thẳng AB) 
Þ OC > OA (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu).
Vậy OC > R Þ C nằm ngoài đường tròn (O;R)
A
H
B
C
O
Bài 2
Cho AB là dây cung của đường tròn (O;R) (AB ≠2R). C làm điểm trên đoạn AB (C khác A và B).
Chứng minh rằng điểm C nằm trong đường tròn (O;R)
Gợi ý
Từ bài 1, ta nhận ra rằng đường phụ cần vẽ thêm là OH vuông góc với AB tại H.
Giải
Vẽ OH vuông góc với AB tại H. Xét các trường hợp sau:
* C trùng với H:
Ta có: OH < OA (vì OH ^ AH) nên OH < R.
Þ H nằm trong đường tròn (O;R)
Þ C nằm trong đường tròn (O;R).
* C nằm trên đoạn AH ( C khác A và H) ta có 
HC < HA.
Þ OC < OA (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu).
A
H
B
C
O
A
H
B
C
O
 Mà OA = R nên OC < R Þ C nằm trong đường tròn (O;R).
* C nằm trên đoạn BH ( C khác B và H)
Tương tự ta cũng có C nằm trong đường tròn (O;R).
Bài 3
Cho đường tròn (O;R), R= 4cm. Vẽ dây cung AB = 5cm, C là điểm trên dây cung AB sao cho AC = 2cm. Vẽ CD vuông góc với OA tại D. Tính độ dài đoạn thẳng AD.
Gợi ý
- Từ giả thiết của bài toán khiến ta nghĩ đến vẽ thêm đường kính AE.
- Hai tam giác ADE và ABE đồng dạng, từ đó tính được AD.
Giải
A
H
B
C
O
.
- Vẽ đường kính AE, có AE = 8cm
- Điểm B thuộc đường tròn đường kính AE 
Þ ABE = 900 
- Xét DADC và DABE có: DAC chung;
ADC = ABE (=900)
Do đó: DADC ∽ DABE
Þ 
Mà AC = 2cm, AB=5cm; AE = 8cm nên (cm)
Bài 4
Cho đường tròn (O;R), AC và BD là hai đường kính. Xác định vị trí của hai đường kính AC và BD để diện tích tứ giác ABCD là lớn nhất.
A
H
D
C
O
B
	Gợi ý
- Ta kí hiệu SABCD là diện tích tứ giác ABCD. Dễ thấy tứ giác ABCD là hình chữ nhật, do đó: SABCD= AB.AD.
- Mặt khác: DABD vuông tại A, có BD không đổi, AH là đường cao, ta có: 
SABCD = AH.2R
 	SABCD (max) AH (max)
Vậy đường cao AH của DABD là “mấu chốt” của bài toán.
	Giải
- Vẽ AH ^ BD (H Î BD)
Tứ giác ABCD có OA = OC = R, OB = OD = R nên là hình bình hành.
- Mà AC = BD = 2R do đó tứ giác ABCD là hình chữ nhật, suy ra:
SABCD = AB.AD.
- Xét DABE có: , AH ^ BD nên AB.AD = AH.DB;
Vì AH ≤ AO, DB = 2R nên SABCD ≤ 2R2 (không đổi).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi H ≡ O AC ^ BD.
Vậy khi hai đường kính AC và BD vuông góc với nhau thì diện tích tứ giác ABCD lớn nhất.
Bài 5: 
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, CD là một dây cung của nửa đường tròn (O). Các đường thẳng vuông góc với CD tại C và D lần lượt cắt AB tại E và F. 
Chứng minh rằng: AE = BF 
	Gợi ý
- Vì OA = OB = R, để có AE = BF cần chứng minh rằng OE = OF.
- Áp dụng kĩ năng 1b): Vẽ OH ^ CD tại H, điểm phụ H sẽ giúp ta giải bài toán. 
Giải
-Vẽ OH ^ CD, H Î CD, từ đó có CH = HD
 (định lí đường kính vuông góc với dây cung).
-Vì EC, OH, FD cùng vuông góc với CD nên EC // OH // FD.
-Do đó OH là đường trung bình của hình thang CDFE Þ OE = OF.
Mà OA = OB (= R) nên OA – OE = OB – OF 
Þ AE = BF
A
.
E
O
F
B
D
H
C
Bài 6
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB và dây cung CD. Gọi K, L lần lượt là chân đường vuôn