Đơn công nhận SKKN Giải pháp vận dụng ước chung lớn nhất để giải một số dạng toán về biểu thức

 CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
 Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
 HỒ SƠ XÉT CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN 
 - Tên sáng kiến: Giải pháp vận dụng ước chung lớn nhất để giải một số 
 dạng toán về biểu thức
- Tác giả: Nguyễn Xuân Cảnh
- Đơn vị công tác: Trường THCS Lý Tự Trọng – Bình Xuyên – Vĩnh Phúc
- Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn
- Trình độ chuyên môn: Đại học Toán - Tin
 Bình Xuyên, tháng 01 /2019 - Để học sinh biết cách tự nghiên cứu trước SGK ở nhà thì giáo viên cần 
hướng dẫn cụ thể các việc cần làm: 
 + Đọc toàn bộ nội dung bài học;
 + Trả lời các câu hỏi cụ thể: Tùy vào từng bài học mà giáo viên đưa ra các 
câu hỏi để học sinh trả lời, chẳng hạn một số câu hỏi sau: Định nghĩa giúp ta giải 
quyết vấn đề gì? Tính chất, định lý đó áp dụng được cho các dạng toán nào? Bản 
chất của khái niệm là gì?...
 + Vận dụng làm các phần “?” và tập dượt làm bài tập sách giáo khoa.
 2. Tự học qua sách bài tập, sách tham khảo:
 - Đối với học sinh đã chắc kiến thức ở sách giáo khoa thì sách bài tập sẽ là 
tại liệu rất bổ ích vì sách bài tập có hướng dẫn giải và phân dạng, như vậy học 
sinh sẽ tự học một cách hệ thống ngay từ đầu (nếu chỉ làm BT trong SGK thì 
việc phân dạng bài tập sẽ khó khăn hơn với học sinh)
 - Việc hướng dẫn học sinh lựa chọn bài tập theo dạng bài trong sách bài 
tập là rất cần thiết, từ đó hình thành cho em thói quen phân loại các bài tập để 
nắm vững phương pháp giải của từng dạng bài. Đôi khi giáo viên cũng cần trợ 
giúp các em trong việc phân dạng để các em có cái nhìn tổng quan hơn. 
 3. Tự nghiên cứu:
 - Giáo viên cần hướng dẫn học sinh cách tìm hiểu các kiến thức chuyên 
sâu trong từng chuyên đề (đọc kỹ kiến thức, vận dụng kiến thức cơ bản được 
học để chứng minh các kiến thức vừa đọc được, nghĩ đến khả năng áp dụng kiến 
thức đó trong bài tập dạng nào,...) rồi làm các bài tập lớn. Sau đó, giáo viên 
kiểm tra đánh giá kết quả nghiên cứu của các em.
 Bước 2: Tiến hành khảo sát kết quả tự nghiên cứu của học sinh
 Tiến hành thăm dò mức độ tự tìm hiểu kiến thức của học sinh thông qua 
phiếu đánh giá và khả năng áp dụng kiến thức khi chưa có sự định hướng 
phương pháp giải các dạng bài. Tôi tiến hành một bài kiểm tra 20 em lớp 8, các 
em mà có kết quả học tập môn Toán xếp loại Giỏi. 
 Kết quả cụ thể 
Điểm ≤3,5 <5 ≤6.5 <8 ≤10
Số lượng 03 09 05 03 0
 Bước 3: Tiến hành dạy học thực nghiệm
 Trên cơ sở học sinh đã tự học, tự nghiên cứu, tôi đã lựa chọn các dạng bài 
thiết thực phù hợp với phạm trù đề cập đến và tiến hành dạy thực nghiệm trên 
lớp trong thời gian 15 tiết. Sau đó có bài kiểm tra đánh giá mức độ nắm bắt kiến 
thức và sự vận dụng vào bài toán cụ thể. Sau đây là phần tóm tắt nội dung chính 
và các dạng bài đã triển khai trong giảng dạy. Vậy m - n và 4m + 4n + 1 là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau, thỏa 
 m  n
mãn (*) nên chúng đều là các số chính phương. Do vậy là phân số 
 4m  4n 1
tối giản.
 Nhận xét: 
 - Trong lời giải trên nếu ta để ý đến tính chất “Tích của hai số nguyên tố 
cùng nhau là số chính phương thì cả hai số đều là số chính phương” thì bài toán 
được phát biểu dưới dạng khác như sau: 
 Chứng minh rằng: Nếu m, n là các số tự nhiên thỏa mãn 3m 2 + m = 4n2 + 
 m  n
n thì là bình phương của một số hữu tỷ.
 4m  4n 1
 - Bài tập tương tự: Cho a, b là hai số nguyên dương khác nhau, thỏa mãn 
 a  b
2a2 +a = 3b2 +b. Chứng minh rằng là phân số tối giản. (Trích đề thi 
 2a  2b 1
HSG tỉnh Quảng Ngãi năm 2014)
 Cho a và b là các số nguyên sao cho tồn tại hai số nguyên liên tiếp c và d 
 a  b
để a - b =a2c - b2d. Chứng minh rằng phân số là phân số tối giản 
 ca  bc 1
(hay là bình phương của một số hữu tỷ).
 Dạng 2: Tìm số nguyên để phân số thỏa mãn điều kiện cho trước
 3n  2
 Bài 1: Xác định các giá trị của n để các phân số là phân số 
 2n  3
tối giản.
 Phân tích: Với dạng toán này giáo viên hướng dẫn học sinh từ bài toán 
 3n  4
mà các em đã biết cách giải sau: Chứng minh phân số là tối giản. Rõ ràng 
 2n  3
học sinh hoàn toàn có thể giải quyết được. Sau đó, giáo viên thay đổi giá trị 4 
thành 2 để nảy sinh vấn đề, gợi mở học sinh cách giải quyết. 
 Tóm tắt hướng giải: Theo cách làm trên thì ta sẽ tìm được d {1; 5} 
(với n N). Vậy ta tìm xem d =5 khi nào. Ta có 3n +2 ⁝5 6n+4 ⁝5  n-1 ⁝5 
 n=5k +1 (k N). Đến đây ta có kết luận với n ≠ 5k +1 (k  Z).
 Với cách làm trên, sau đây là một số bài tương tự:
 1. Xác định các giá trị của n  N để các phân số sau là tối giản:
 18n  3 9n  3
 a) b) 
 21n  7 30n  5
 n3  5n 1 255
 2. Tìm n  N để 
 n4  6n2  n  5 1083 k
 Phân tích: Với loại bài này ta cần tìm cách viết dưới dạng A + (trong 
 B
đó A, B là các đa thức biến x, k là số nguyên hoặc đa thức biến x với bậc nhỏ 
hơn 2).
 Hướng dẫn: Thực hiện phép chia đa thức ta viết phân số được dưới dạng 
 4x 1
 x  2  
 x2  3
 Do đó phải có: (4x 1)  (3x2  3) (1)
 Vì 4x  1 và 4x  1 nên 
 (1)  (4x - 1)(4x + 1)  (x2 + 3) 
  (16x2 - 1)  (x2 + 3)  16(x2 - 3) - 49  (x2 + 3)
  49  (x2 + 3). Từ đó tìm được x=2. 
 Tương tự, ta có một số bài sau:
  1 2x   2x 
 1: Cho biểu thức A =   3 2  :1 2  . Tìm giá trị nguyên 
  x 1 x  x  x 1  x 1
của x để biểu thức ( x +2).A nhận giá trị là số nguyên. (Trích đề thi HSG Sông 
Lô lớp 8 năm 2015-2016).
 x 2 x  2
 2: Cho biểu thức: P    . Tìm các giá trị 
 x  x x  2 x ( x 1)(x  2 x)
nguyên của x để P nhận giá trị nguyên. (Trích đề thi HSG Phù Ninh - Phú Thọ 
năm 2012-2013). 
 x2  2
 3: Cho hàm số y  . Tìm tất cả các giá trị x nguyên để y nguyên. 
 x  2
(Trích đề thi vào THPT chuyên Thái Bình năm 2018-2019).
  x 1 x  3   10 
 4: Cho biểu thức P     :   3 (với x ≥ 0, x  4).
  x  4 x  x  4  x  2 
Tìm tất cả các giá trị x nguyên để P nguyên. (Trích đề thi vào THPT chuyên 
Vĩnh Phúc năm 2018-2019).
 Dạng 3: Tìm số nguyên thỏa mãn đẳng thức
 2x4  3x2 1
 Bài 1: Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn:  1 (1)
 y2
 Phân tích: Dễ thấy 2x4+3x2+1 = (2x2+1)(x2+1) và (2x2+1,x2+1) =1 nên ta 
sử dụng tính chất của số chính phương thì lời giải rất đơn giản.
Hướng dẫn: Ta biến đổi (1) trở thành (2x2+1)(x2+1)=y2. 
 x2 1  t2
Dễ chứng minh (2x2+1, x2+1) =1 nên ta phải có  . 
  2 2
 2x 1  z Điểm ≤ 3,5 <5 ≤6.5 <8 ≤10
Số lượng 0 0 04 06 10
 + Về khả năng áp dụng của sáng kiến: 
 Sau khi nghiên cứu kỹ các kiến thức về ước chung lớn nhất, phân số và 
khả năng vận dụng trong các dạng toán, tôi đã quyết định lựa chọn đề tài này 
làm sáng kiến kinh nghiệm cho bản thân. Nội dung sáng kiến phù hợp với đối 
tượng học sinh giỏi cấp trung học cơ sở, đặc biệt một vài nội dung của chuyên 
đề còn có thể áp dụng cho học sinh giỏi khối 6 và khối 7 như dạng chứng tỏ 
phân số tối giản, tìm số thỏa mãn điều kiện cho trước. Đặc biệt, qua chuyên đề 
chất lượng môn toán được nâng cao thể hiện rõ nhất qua thành tích thi học sinh 
giỏi cấp Huyện, cấp Tỉnh, thi “Tìm kiếm tài năng toán học”. 
 Ngoài ra chuyên đề còn có thể dùng làm tài liệu bồi dưỡng chuyên môn 
tới tất cả giáo viên bộ môn toán , qua đó góp phần nâng cao trình độ phù hợp với 
yêu cầu của xã hội.
 - Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng giải 
pháp trong đơn theo ý kiến của tôi với các nội dung sau:
 Khi áp dụng sáng kiến với đội tuyển học sinh giỏi các khối của trường 
tôi thì đã thu được những kết quả rất cao. Kết quả cụ thể:
 Thi cấp huyện môn Toán đội tuyển luôn đạt nhiều giải nhất, giải nhì và 
xếp thứ nhất huyện.
 Thi chọn học sinh giỏi lớp 9 cấp tỉnh môn Toán đạt: 03 giải Nhì – 03 
giải Ba - 04 Khuyến khích.
 Thi “Tìm kiếm tài năng toán học” đạt 02 huy chương Bạc, 10 huy chương 
Đồng.
 - Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng giải 
pháp trong đơn theo ý kiến của tác giả với các nội dung sau:
 - Khi áp dụng sáng kiến này vào công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, ôn thi 
vào THPT đã thu được kết quả rất khả quan. Cụ thể, khi so sánh kết quả đạt 
được đối với các cuộc thi mà có bài toán liên quan đến nội dung này thì chất 
lượng đã tăng lên rõ rệt cả về số lượng và chất lượng. Kết quả đó được thể hiện 
bằng số liệu cụ thể sau:
 Thi HSG các cấp Thi vào THPT
Trước khi áp dụng Tỷ lệ đạt giải: 48,80% Tỷ lệ đỗ điểm cao (≥8,0): 
 31,25%
Sau khi áp dụng Tỷ lệ đạt giải: 65,76% Tỷ lệ đỗ điểm cao (≥8,0): 
 64,33% Số Tên tổ chức/cá Địa chỉ Phạm vi/Lĩnh vực
 TT nhân áp dụng sáng kiến
 1 Học sinh giỏi lớp THCS Lý Tự Trọng - Bình Khoa học tự nhiên
 7 Xuyên
 2 Học sinh giỏi lớp THCS Lý Tự Trọng - Bình Khoa học tự nhiên
 8 Xuyên
 3 Học sinh giỏi lớp THCS Lý Tự Trọng - Bình Khoa học tự nhiên
 9 Xuyên
 4 Giáo viên giảng THCS Lý Tự Trọng - Bình Khoa học tự nhiên
 dạy Toán Xuyên
 5 Giáo viên giảng THCS Liên Châu - Yên Lạc Khoa học tự nhiên
 dạy Toán
 Tôi làm đơn nay trân trọng đề nghị Hội đồng sáng kiến xem xét và công 
nhận sáng kiến. Tôi xin cam đoan mọi thông tin nêu trong đơn là trung thực, 
đúng sự thật, không xâm phạm quyền sở hữu trí tuệ của người khác và hoàn toàn 
chịu trách nhiệm về thông tin đã nêu trong đơn
 Bình Xuyên, ngày 20 tháng01. năm 2019.
 NGƯỜI VIẾT ĐƠN
 (Ký và ghi rõ họ tên)
 Nguyễn Xuân Cảnh