Chuyên đề Số nguyên tố

 TRƯỜNG THCS VÂN HỘI
 CHUYÊN ĐỀ
 SỐ NGUYÊN TỐ
 Người thực hiện: Trần Thị Tuyết
 Tổ: KH Tự nhiên
 PHẦN I
 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ SỐ NGUYÊN TỐ
I/ Định nghĩa
1) Số nguyên tố là những số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có 2 ước số là 1 và chính nó.
 1 Ví dụ: 30 = 2.3.5 thì T(A) = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 8
 Thật vậy: Ư(30) = 1;2;3;5;6;10;15;30
 Ư(30) có 8 phân tử
V/ Hai số nguyên tố cùng nhau:
1- Hai số tự nhiên được gọi là nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi chúng có ước chung 
lớn nhất (ƯCLN) bằng 1.
 a, b nguyên tố cùng nhau (a,b) = 1 a,b  N
2- Hai số tự nhiên liên tiếp luôn nguyên tố cùng nhau
3- Hai số nguyên tố khác nhau luôn nguyên tố cùng nhau
4- Các số a,b,c nguyên tố cùng nhau (a,b,c) = 1
5- Các số a,b,c nguyên tố sánh đôi khi chúng đôi một nguyên tố cùng nhau
 a,b,c nguyên tố sánh đôi (a,b) = (b,c) = (c,a) = 1
 PHẦN II
 MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ SỐ NGUYÊN TỐ 
DẠNG 1
 TÌM SỐ NGUYÊN TỐ
 THOẢ MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
 3  p = k(4k3 + 6k2 +3k) mà p là số nguyên tố nên k = 1, khi đó p = 13
 2p + 1 = 27 = 33 (thoả mãn).
 Vậy số nguyên tố cần tìm là 13.
Bài 5: Tìm tất cả các số nguyên tố p để p vừa là tổng, vừa là hiệu của hai số tự nhiên
 Giải
Giả sử tồn tại số nguyên tố p thoả mãn đề bài (p > 2), p lẻ.
 p = p1 + p2 = p3 – p4 (p1, p2, p3, p4 là số nguyên tố).
 Vì p lẻ nên trong hai số nguyên tố p 1 và p2, p3 và p4 phải có một số chẵn, một số 
lẻ, số chẵn đó là 2 (p1>p2, thì p3>p4). 
 Như vậy p = p1 + 2 = p3 – 2, như vậy p, p1, p3 vừa là ba số lẻ liên tiếp, vừa là 3 số 
nguyên tố, chỉ có bộ ba số 3; 5; 7 thoả mãn đề bài. P = 5 = 2 + 3 = 7 – 2
Bài 6: Tìm 3 số nguyên tố liên tiếp p, q, r để p2 + q2 + r2 cũng là số nguyên tố?
Giải
Vì p, q, r là các số nguyên tố nên p2 + q 2 > 2 như vậy nếu p 2 + q2 + r2 là số nguyên tố 
thì p2 + q2 + r2 phải là số lẻ, khi đó p2, q2, r2 là số lẻ. Suy ra p, q, r là các số lẻ.
Trong các sô p, q, r có ít nhất một số chia hết cho 3, vì nếu ngược lại thì bình phương 
từng số chia 3 sẽ dư 1 suy ra p2 + q2 + r2 sẽ chia hết cho 3 (mâu thuẫn).
Nếu p là số nguyên tố, lại chia hết cho 3 nên p = 3, các số nguyên tố liên tiếp là 5 và 7.
Khi đó p2 + q2 + r2 = 73 là số nguyên tố.
DẠNG 2
 BÀI TẬP LIÊN QUAN GIỮA SỐ NGUYÊN TỐ VÀ HỢP SỐ 
Bài 1:
 Biết p và 8p – 1 là số nguyên tố. Chứng minh 8p + 1 là hợp số
 Giải:
+) Nếu p = 2 => 8p -1 = 15  P (p = 2 không thỏa mãn)
+) Nếu p = 3 => 8p – 1 = 23  P , 8p + 1 = 25  P (thỏa mãn)
+) Nếu p > 3, p co dạng 3k+1 hoặc 3k + 2 (kN).
 Nếu p = 3k + 2 thì 8p – 1 là hợp số nên p phải có dạng 3k + 1 khi đó 8p + 1 = 24k 
+ 9 là hợp số.
 Vậy với p và 8p – 1 là số nguyên tố thif8p + 1 là hợp số.
Bài 2:
 5 DẠNG 3 
 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN SỐ NGUYÊN TỐ
Bài 1:
 Cho m và m2 + 2 là hai số nguyên tố. Chứng minh m3 + 2 cũng là số nguyên tố.
 Giải
 Vì m và m2 + 2 là số nguyên tố nên m = 3, m2 + 2 = 11
 Khi đó m3 + 2 = 29 cũng là số nguyên tố.
 Vậy m và m2 + 2 là hai số nguyên tố thì m3 + 2 cũng là số nguyên tố.
Bài 2:
 Cho 2m – 1 là số nguyên tố
 Chứng minh rằng m cũng là số nguyên tố.
Giải:
 Giả sử m là hợp số => m = p.q ( p, q  N; p, q > 1)
 Khi đó: 2m – 1 = 2p,q - 1 = (2p)q – 1 
 = (2p – 1)(2p(q-1) + 2p(q-2) + .....+ 1)
 vì p > 1 (giả thiết) của điều giả sử => 2p – 1 > 1
 và (2p(q-1) + 2p(q-2) + .....+ 1) > 1
 Dẫn đến 2m – 1 là hợp số (trái với giả thiết 2m –1 là số nguyên tố)
  Điều giả sử không thể xảy ra.
 Vậy m phải là số nguyên tố (điều phải chứng minh)
Bài 3:
 Chứng minh rằng: 1994! – 1 có mọi ước số nguyên tố lớn hơn 1994.
Giải: (Chứng minh bằng phương pháp phản chứng)
 Gọi p là ước số nguyên tố của (1994! – 1)
 Giả sử p 1994 => 1994. 1993 ..... 3. 2. 1 : p
 1994! : p
 mà (1994! – 1) : p => 1 : p (vô lý)
 Vậy: p không thể nhỏ hơn hoặc bằng 1994 hay p > 1994 (điều phải chứng minh).
Bài 4:
 Chứng minh rằng: n > 2 thì giữa n và n! có ít nhất 1 số nguyên tố (từ đó suy ra có 
vô số số nguyên tố).
 Giải:
 Vì n > 2 nên k = n! – 1 > 1, do đó k có ít nhất một ước số nguyên tố p.
 7 q = 1
  (không thoả mãn)
 k = 1 
 Vậy cặp số (q,p) là (5;3) là cặp số cần tìm.
 BÀI TẬP 
I. Bài tập có hướng dẫn
Bài 1: Ta biết rằng có 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100. Tổng của 25 số nguyên tố nhỏ hơn 
100 là số chẵn hay số lẻ.
HD: Trong 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 có chứa một số nguyên tố chẵn duy nhất là 2, 
còn 24 số nguyên tố còn lại là số lẻ. Do đó tổng của 25 số nguyên tố là số chẵn.
Bài 2: Tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012. Tìm số nguyên tố nhỏ nhất trong ba số 
nguyên tố đó.
HD: Vì tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012, nên trong 3 số nguyên tố đó tồn tại ít nhất 
một số nguyên tố chẵn. Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2 và là số nguyên tố nhỏ nhất. 
Vậy số nguyên tố nhỏ nhất trong 3 số nguyên tố đó là 2.
Bài 3: Tổng của 2 số nguyên tố có thể bằng 2003 hay không? Vì sao?
HD: Vì tổng của 2 số nguyên tố bằng 2003, nên trong 2 số nguyên tố đó tồn tại 1 số 
nguyên tố chẵn. Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2. Do đó số nguyên tố còn lại là 
2001. Do 2001 chia hết cho 3 và 2001 > 3. Suy ra 2001 không phải là số nguyên tố.
Bài 4: Tìm số nguyên tố p, sao cho p + 2 và p + 4 cũng là các số nguyên tố.
HD: Giả sử p là số nguyên tố.
 - Nếu p = 2 thì p + 2 = 4 và p + 4 = 6 đều không phải là số nguyên tố.
 - Nếu p  3 thì số nguyên tố p có 1 trong 3 dạng: 3k, 3k + 1, 3k + 2 với k  N*.
 +) Nếu p = 3k  p = 3  p + 2 = 5 và p + 4 = 7 đều là các số nguyên tố.
 +) Nếu p = 3k +1 thì p + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1)  p + 2  3 và p + 2 > 3. Do đó p + 2 
 là hợp số.
 +) Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2)  p + 4  3 và p + 4 > 3. Do đó p + 4 
 là hợp số.
Vậy với p = 3 thì p + 2 và p + 4 cũng là các số nguyên tố.
Bài 5: Cho p và p + 4 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng p + 8 là hợp số.
HD: Vì p là số nguyên tố và p > 3, nên số nguyên tố p có 1 trong 2 dạng: 3k + 1, 3k + 
2 với k  N*.
 - Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2)  p + 4  3 và p + 4 > 3. Do đó p + 4 
 là hợp số ( Trái với đề bài p + 4 là số nguyên tố).
 9 - Nếu p = 3k + 2 thì p + 1 = 3k + 3 = 3(k + 1) (1). 
 Do p là số nguyên tố và p > 3  p lẻ  k lẻ  k + 1 chẵn  k + 1 2 (2)
Từ (1) và (2)  p + 1 6.
II. Bài tập vận dụng:
Bài 1: Tìm số nguyên tố p sao cho các số sau cũng là số nguyên tố:
 a) p + 2 và p + 10.
 b) p + 10 và p + 20.
 c) p + 10 và p + 14.
 d) p + 14 và p + 20.
 e) p + 2và p + 8.
 f) p + 2 và p + 14.
 g) p + 4 và p + 10.
 h) p + 8 và p + 10.
Bài 2: Tìm số nguyên tố p sao cho các số sau cũng là số nguyên tố:
 a) p + 2, p + 8, p + 12, p + 14.
 b) p + 2, p + 6, p + 8, p + 14.
 c) p + 6, p + 8, p + 12, p + 14.
 d) p + 2, p + 6, p + 8, p + 12, p + 14.
 e) p + 6, p + 12, p + 18, p + 24.
 f) p + 18, p + 24, p + 26, p + 32.
 g) p + 4, p + 6, p + 10, p + 12, p+16.
Bài 3:
a) Cho p và p + 4 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: p + 8 là hợp số.
b) Cho p và 2p + 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 4p + 1 là hợp số.
c) Cho p và 10p + 1 là các số nguyên tố (p > 3). C minh rằng: 5p + 1 là hợp số.
d) Cho p và p + 8 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: p + 4 là hợp số.
e) Cho p và 4p + 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 2p + 1 là hợp số.
f) Cho p và 5p + 1 là các số nguyên tố (p > 3). C minh rằng: 10p + 1 là hợp số.
g) Cho p và 8p2 - 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 8p2 + 1 là hợp số.
h) Cho p và 8p2 + 1 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng: 8p2 - 1 là hợp số.
 11