Chuyên đề Một số dạng toán về số chính phương

 MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
 Nguyễn Thị Thanh Huyền 
 PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Lý do chọn đề tài
 1. Cơ sở lý luận
 Toán học là một bộ môn khoa học tự nhiên mang tính trừu tượng cao, tính 
logic đồng thời môn toán còn là công cụ hỗ trợ cho các môn học khác. Với phân 
môn số học là môn khoa học rèn luyện cho học sinh khả năng suy luận logic, phát 
triển tư duy sáng tạo cho học sinh. Đặc biệt là rèn luyện cho học sinh khá, giỏi. 
nâng cao được năng lực tư duy, tính độc lập, sáng tạo linh hoạt trong cách tìm lời 
giải bài tập của học sinh. Việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi không đơn thuần chỉ 
cung cấp cho các em kiến thức cơ bản thông qua việc làm bài tập hoặc làm càng 
nhiều bài tập khó mà giáo viên phải biết rèn luyện khả năng sáng tạo, đối với phân 
môn số học càng phải biết rèn luyện năng lực tư duy và phán đoán logic.
 2. Cơ sở thực tiễn
 Qua công tác giảng dạy ở trường tôi nhận thấy việc học toán nói chung và bồi 
dưỡng học sinh khá giỏi toán nói riêng, muốn học sinh rèn luyện được tư duy sáng 
tạo trong việc học tập và giải toán thì bản thân mỗi người thầy cần phải có nhiều 
phương pháp và nhiều cách giải nhất. Trước mỗi bài tập tôi đã cho học sinh tìm 
nhiều cách giải, đồng thời cũng phải gợi ý và cung cấp cho học sinh nhiều cách 
giải. Trên cơ sở đó học sinh tự tìm ra cách giải hợp lý nhất. Phát hiện ra được cách 
giải tương tự và khái quát phương pháp đường lối chung. Từ đó, với mỗi bài toán 
cụ thể các em có thể khái quát hóa thành bài toán tổng quát và xây dựng các bài 
toán tương tự. Bài tập về số chính phương thường gặp trong đề thi HSG các cấp, 
thi vào THPT chuyên...
 Vì vậy tôi chọn chủ đề sáng kiến kinh nghiệm là "Một số dạng toán về số 
chính phương", với mục đính là rèn luyện khả năng sáng tạo Toán học cho học 
sinh giỏi, là tư liệu dạy học Toán học cho giáo viên.
II. Mục đích nghiên cứu
 - Trang bị cho học sinh một số phương pháp giải bài tập về số chính phương.
 - 1 - PHẦN II. NỘI DUNG
 CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
I. ĐỊNH NGHĨA
 Số chính phương là số bằng bình phương của một số nguyên.
II. MỘT SỐ TÍNH CHẤT THƯỜNG VẬN DỤNG
 1- Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9; không
thể có chữ tận cùng bằng 2, 3, 7, 8.
 2- Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số 
nguyên tố với số mũ chẵn.
 3- Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n+1. Không 
có số chính phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n  N).
 4- Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n +1. Không 
có số chính phương nào có dạng 3n + 2 ( n  N ).
 5- Số chính phương tận cùng bằng 1, 4 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ 
số chẵn.
 Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2.
 Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ.
 6-Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4. 
 Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9 
 Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25 
 Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.
 7. Mọi số chính phương khi chia cho 5, cho 8 chỉ dư 1, 0, 4.
 8. Giữa hai số chính phương liên tiếp không có số chính phương nào.
 9. Nếu hai số nguyên liên tiếp có tích là một số chính phương thì một trong 
hai số đó là số 0.
 10. Số các ước của một số chính phương là số lẻ. Ngược lại, một số có số 
các ước là số lẻ thì số đó là số chính phương.
 11. Nếu n2 < k < (n+1)2 ( n  Z) thì k không là số chính phương.
 12. Nếu hai số tự nhiên a và b nguyên tố cùng nhau có tích là một số chính 
 phương thì mỗi số a, b cũng là các số chính phương.
 - 3 - CHƯƠNG 2: BÀI TẬP VẬN DỤNG
Dạng 1: Tìm số chính phương.
Bài 1: Tìm số chính phương abcd biết ab  cd  1 .
Lời giải
 Giả sử n2  abcd  100ab  cd  1001 cd  cd  101cd 100 , n  Z .
 101.cd  n2 100  n 10n 10 .
 Vì n  100 và 101 là số nguyên tố nên n 10 101.
  n  91. 
 Thử lại: abcd  912  8281 có 82 81 1.
 Vậy abcd  8281.
Bài 2 : Cho A là số chính phương gồm 4 chữ số. Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của 
A một đơn vị thì ta được số chính phương B. Hãy tìm các số A và B.
(Đề thi TS vào lớp 10 chuyên trường THPT Lê Hồng Phong - TP Hồ Chí Minh. 
Năm học 2005- 2006)
Lời giải
Gọi A  abcd  k 2 .
Theo đề bài ta có:
  A  abcd  k 2
 Ta có:  .
 2
 B  abcd 1111  m
 (với k, m  N* và 31 k  m 100 , a,b, c, d 1,9 ).
  m2  k2  1111  (m - k)(m + k) = 1111 (*)
Nhận xét thấy tích (m – k)(m + k) > 0 nên m – k và m + k là 2 số nguyên dương. 
Và m – k < m + k < 200 nên (*) có thể viết (m – k) (m + k) = 11.101
Do đó: m – k = 11 m = 56 A = 2025 
 m + k = 101 n = 45 B = 3136
Vậy A=2025, B = 3136.
Bài 3: Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số sao cho chữ số cuối là số nguyên 
tố, căn bậc hai của số đó có tổng các chữ số là một số chính phương.
Lời giải
 - 5 - 2 2 2 
Theo giả thiết ta có: ab = (a + b)3  ab  a  b a  b . Suy ra a+b là số chính
phương.
Khi đó ab là một lập phương và a + b là một số chính phương.
Vì 10  ab  99  ab = 27 hoặc ab = 64 
Nếu ab = 27  a + b = 9 là số chính phương
Nếu ab = 64  a + b = 10 không là số chính phương  loại 
Vậy số cần tìm là 27.
Dạng 2: Chứng minh một số là số chính phương hoặc không là số chính 
phương.
Bài 1: Cho A  11...1 88...8 1. Chứng minh A là một số chính phương.
 2n n
Lời giải
 A  11...100...0 11...1 88...8 1.
 n n n n
 Đặt a  11...1 thì 9a  99...9 . Do đó 99...9 1  10n  9a 1.
 n n n
 Ta có A  a.10n  a  8a 1  a 9a 1  a  8a 1
  A  9a2  6a 1  3a 12 .
  A  33...322 .
 n1
Vậy A là một số chính phương.
Nhận xét:
 Khi biến đổi một số trong đó có nhiều chữ số giống nhau thành một số chính
phương ta nên đặt 11...1  a và như vậy 99...9 1  10n  9a 1.
 n n
Bài 2: Cho a  11...1, b  10...05 . Chứng minh ab 1 là số tự nhiên.
 2016 2015
Lời giải:
Cách 1:
 Ta có: b  10...05  10...0 1 6  9...9  6  9a  6 .
 2015 2016 2016
  ab + 1 = a(9a + 6) + 1 = 9a2 + 6a + 1 = (3a + 1)2
  ab 1  (3a 1)2  3a 1  N .
 - 7 - Đặt c  11...1.  9c 1  99...9 1  1030 .
 30 30
 Khi đó: a  c.9c 1  c  9c2  2c . b  2c .
 2
 2 2  
  a  b  9c  2c  2c  3c   33...3 .
  30
Bài toán tổng quát: Cho k số tự nhiên khác 0, số tự nhiên a gồm 2k chữ số 1 và số 
tự nhiên b gồm k chữ số 2. Chứng minh rằng a  b là một số chính phương.
Bài 5: Chứng minh rằng A  20124n  20134n  20144n  20154n không phải là số chính
phương với mọi số nguyên dương n.
 (Đề thi vào lớp 10 chuyên trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh 2015 - 2016)
Lời giải
 Ta có:
 20124n 4; 20144n 4 , n  N* .
 20134n  20134n 11  20134n 11 chia cho 4 dư 1.
 20154n  20154n 14n 1 chia cho 4 dư 1.
 Do đó, A  20124n  20134n  20144n  20154n chia cho 4 dư 2.
 Ta có: A 2 , nhưng A không chia hết cho 22 , mà 2 là số nguyên tố. Suy ra A
 không là số chính phương. 
Vậy A không là số chính phương.
Bài 6: Cho A 1 2  22  23 ...  233 . Hỏi A có là số chính phương không? Vì sao?
Lời giải
 Ta có A  1 2  22  23  24  25 ...  230  231  232  233 
  3  22.1 2  22  23 ...  230.1 2  22  23 
  3  2.30 ...  229.30  3  2 ...  229 .3.10 .
 Ta thấy A có chữ số tận cùng bằng 3.
Mà số chính phương không có chữ số tận cùng là 3. Do đó, A không là số chính 
phương.
Vậy A không là số chính phương.
 - 9 - Vậy x 1;0;1; 4;7;8;9 .
Bài 3: Tìm số tự nhiên n  1 sao cho tổng 1! + 2! + 3! +  + n! là một số chính 
phương.
 (Đề thi HSG lớp 6 - Phòng giáo dục đào tạo Phúc Yên - Vĩnh Phúc)
Lời giải
Với n = 1 thì 1! = 1 = 12 là số chính phương
Với n = 2 thì 1! + 2! = 3 không là số chính phương
Với n = 3 thì 1! + 2! + 3! = 1 + 1.2 + 1.2.3 = 9 = 32 là số chính phương
Với n  4 ta có 1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 1.2 + 1.2.3 + 1.2.3.4 = 33 còn 5!; 6!; ; n! đều
tận cùng bởi 0 do đó 1! + 2! + 3! +  n! có tận cùng bởi chữ số 3 nên nó không 
phải là số chính phương.
Vậy có 2 số tự nhiên n thoả mãn đề bài là n = 1; n = 3.
Bài 4: Tìm số nguyên dương n sao cho A  n  34n2 14n  7 là số một chính
phương.
 (Đề thi chọn HSG Toán 9 tỉnh Thái Bình)
Lời giải
Ta có: 4n2 14n  7  n  34n  2 1 và n là số nguyên dương nên n  3 và
 4n2 14n  7 là nguyên tố cùng nhau. Vì vậy, để A là số chính phương thì 
 4n2 14n  7 và n+3 phải là số chính phương.
Do n  Z nên ta có 2n  32  4n2 14n  7  2n  42 .
  4n2 14n  7  2n  32  n  1. Khi đó n+3 = 4 là số chính phương.
Thử lại, với n  1, ta có A  102 .
Vậy số nguyên dương cần tìm là n  1.
Bài 5: Tìm n  N để 28 + 211 + 2n là số chính phương .
Lời giải
-Với n  0;1; 2;....;8 , bằng cách thử không có giá trị n thỏa mãn đề bài.
- Với n  9 , đặt 28 + 211 + 2n = t2 , ta có t2  2 8 1 23  2n8   28 (9  2n8 )
  9  2n8 là số chính phương
 - 11 - Thử lại 2x  5y  22  51  9 là số chính phương
Vậy x  2; y  1 hoặc x = 3, y = 0.
* Bài tập luyện tập 
Bài 1: Chứng minh nếu a;b là các số nguyên thỏa mãn hệ thức 2a2  a  3b2  b thì
 a  b và 2a+2b+1 là những số chính phương.
Bài 2: Cho a;b; c là 3 số nguyên thỏa mãn điều kiện ab  bc  ca  1.
Chứng minh rằng (a2 1)(b2 1)(c2 1) là 1 số chính phương.
Bài 3: Tìm a  N để (23  a)(a  3) là 1 số chính phương.
Bài 4: Tìm các số nguyên tố p sao cho 2 số 2( p 1) và 2( p2 1) là 2 số chính
phương.
 (Đề thi chọn HSG Toán 9 trường Quốc học Huế, Thừa Thiên - Huế).
 (x 1)(2x 1)
Bài 5: Chứng minh nếu tồn tại số nguyên dương x thỏa mãn là 1 số
 2012
chính phương thì x là hợp số.
Bài 6: Chứng minh số A 19n6  5n5 1890n3 19n2  5n 1993 n  N không thể là số
chính phương
 n 2n 1
Bài 7: Tìm số nguyên dương n sao cho là số chính phương .
 26
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Chuyên Lam Sơn- Thanh Hóa. Năm học 2012-
 2013 )
Bài 8: Tồn tại hay không số nguyên x thỏa mãn 202x 122x  20122x là một số chính
phương .
Bài 9: Tìm tất cả các số nguyên n sao cho A  n4  n3  n2 có giá trị là số chính
phương.
 (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An. Năm học
 2010-2011 )
Bài 10: Tìm các số tự nhiên n sao cho A  n2 18n  2020 có giá trị là số chính
phương.
 (Đề thi chọn HSG Toán 9, tỉnh Quảng Ngãi).
Bài 11: Chứng minh rằng mọi số nguyên x, y thì biểu thức
 A= (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 có giá trị là số chính phương.
Bài 12: Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 là số chính 
phương.
 - 13 -