Chuyên đề Một số dạng toán hình học tổ hợp trong chương trình Trung học Cơ sở

 TRƯỜNG THCS LẬP THẠCH GV ĐÀO HUY TRƯỜNG
 MỘT SỐ DẠNG TOÁN HÌNH HỌC TỔ HỢP TRONG 
 CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC CƠ SỞ
Lời nói đầu
 Hình học tổ hợp là một dạng toán khó trong chương trình 
bồi dưỡng HSG Toán THCS. Các phương pháp giải toán Hình 
học tổ hợp thường dùng như Phản chứng, Nguyên lí Đirichlê, 
Quy nạp, Nguyên lí cực hạn, Tạo đa giác bao, Tô màu, Đồ 
thị. các bài toán Hình học tổ hợp không đòi hỏi nhiều về kĩ 
năng tính toán, chúng chủ yếu đòi hỏi sự chặt chẽ trong việc 
xét các khả năng, sự sáng tạo và linh hoạt trong việc vận dụng 
các phương pháp. Nhiều bài toán cùng nội dung chỉ khác 
nhau về con số, nhưng lại yêu cầu cách giải khác nhau; đòi 
hỏi người giải không thể rập khuôn, máy móc. Chỗ khó và 
cũng là thế mạnh của Hình học tổ hợp là ở đó, chính vì thế mà 
các bài toán thường xuyên xuất hiện trong các kì thi HSG cấp 
Tỉnh, Quốc Gia, Quốc Tế. 
Với những nội dung như trên Tôi xin trình bày một số quan 
điểm của mình về giải bài toán Hình học tổ hợp trong chương 
trình toán THCS.Dưới hình thức nêu ra một số dạng bài tập 
và phương pháp giải toán Hình học tổ hợp.
Chuyên đề “ HÌNH HỌC TỔ HỢP” 1 TRƯỜNG THCS LẬP THẠCH GV ĐÀO HUY TRƯỜNG
 A. NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ
I. MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG KHI GIẢI 
TOÁN HÌNH HỌC TỔ HỢP
1.Nguyên lý Dirichle:
 a) Dạng đơn giản: Nếu nhốt n+1 con thỏ vào n lồng thì tồn 
tại 1 lồng có ít nhất 2 con thỏ.
 b) Tổng quát: Nếu nhốt n con thỏ vào m lồng mà phép chia 
n cho m được thương là k và còn dư thì tồn tại 1 lồng chứa ít 
nhất k+1 con thỏ.
VD: Cho một hình vuông và 2011 đường thẳng, mỗi đường 
thẳng đều chia hình vuông thành 2 tứ giác có tỉ số diện tích là 2 . 
 3
CMR: trong 2011 đường thẳng đó có ít nhất 503 đường thẳng 
cùng đi qua 1 điểm. 
Lời giải:
 Gọi d là đường thẳng chia hình vuông thành 2 tứ giác có tỉ số 
 2
 diện tích bằng . Đường thẳng d không thể cắt 2 cạnh kề của 
 3
hình 
 vuông vì khi đó không tạo thành 2 tứ giác.
 Giả sử đường thẳng d cắt AB, AC lần lượt tại M, N. Khi đó
 đường thẳng d cắt đường trung bình EF tại I.
 2 2
 Giả sử: S = S => EI = IF 
 AMND 3 BMNC 3
Chuyên đề “ HÌNH HỌC TỔ HỢP” 3 TRƯỜNG THCS LẬP THẠCH GV ĐÀO HUY TRƯỜNG
II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN HÌNH HỌC TỔ HỢP THƯỜNG GẶP
1.Dạng bài đánh giá độ dài, góc, diện tích.
Ví dụ: Lấy 2011 điểm thuộc miền trong của một tứ giác để cùng 
với 4 đỉnh ta được 2015 điểm, trong đó không có 3 điểm nào 
thẳng hàng. Biết diện tích tứ giác ban đầu là 1 cm 2 . CMR: Tồn tại 
một tam giác có 3 đỉnh lấy từ 2015 điểm đã cho có diện tích 
 1
không vượt quá cm 2 .
 4024
 (Đề thi vào lớp 10 chuyên Hà Tĩnh năm học 2011-2012)
Lời giải:
Gọi 2011 điểm trong tứ giác là Ai (i  1,2011).
 Bước 1: Nối A1 với 4 đỉnh của tứ giác ta được 4 tam giác (hình 
vẽ).
 Bước 2: Xét điểm Ak ( k  2,2011) và các điểm đã cho không có 
3 điểm nào thẳng hàng nên Ak nằm trong một trong 4 tam 
giác.(Chẳng hạn A2 nằm trong A1DC ), ta nối A2 với 3 đỉnh A1 , D,C 
thì số tam giác tăng lên 2 (từ 1 thành 3).
 Vậy sau bước 1 số tam giác là 4. Sau 2010 còn lại mỗi bước 
tăng thêm 2 tam giác.
 Tổng cộng có 4+2.2010 = 4024 tam giác, tổng diện tích của 
4020 tam giác bằng 1 cm 2 nên tồn tại một tam giác có diện tích S
 1
  cm 2 (điều phải chứng minh).
 4024
Nhận xét: 
Chuyên đề “ HÌNH HỌC TỔ HỢP” 5 TRƯỜNG THCS LẬP THẠCH GV ĐÀO HUY TRƯỜNG
 Gọi A là một trong 6 điểm, 5 đoạn thẳng nối A với 5 điểm còn 
lại được tô
 bởi 2 hai màu xanh hoặc đỏ nên tồn tại 3 cạnh cùng màu. Giả 
sử là AB, AC, AD. 
 Xét 2 trường hợp:
 +Trường hợp 1: AB, AC, AD tô màu đỏ.
 Xét BCD . Nếu có một cạnh được tô màu đỏ (giả sử BC) thì 
 ABC cùng màu đỏ (hình 1).
 Nếu không có cạnh nào của BCD tô màu đỏ thì BCD có 3 cạnh 
cùng màu xanh (hình 2).
 +Trường hợp 2: AB, AC, AD tô màu xanh. Chứng minh tương 
tự.
 Vậy luôn tồn tại một tam giác có 3 cạnh cùng màu.
Ví dụ 2 : Cho bảng vuông 4  4 gồm 16 ô vuông cạnh 1 đơn vị. 
Chứng minh rằng: Không thể dùng 2 hình chữ I 
( gồm 2 ô vuông) và 3 hình chứ T ( gồm 4 ô vuông) để xếp kín 
bảng vuông trên. 
Lời giải:
Ta tô màu các ô vuông như bàn cờ vua ( hình vẽ).
Ta thấy: 1 hình chữ I lấp 1 ô đen, 1 ô trắng.
 1 hình chữ T lấp 3 ô đen, 1 ô trắng hoặc 3 ô trắng, 1 ô 
đen ( lấp một số lẻ ô đen) nên 3 hình chữ T lấp 1 số lẻ ô đen, 2 
Chuyên đề “ HÌNH HỌC TỔ HỢP” 7 TRƯỜNG THCS LẬP THẠCH GV ĐÀO HUY TRƯỜNG
 Suy ra ta có điều phải chưng minh.
4.Phương pháp qui nạp toán học:
 Để chứng minh mệnh đề An đúng với mọi n thuộc N*:
 -B1: chỉ ra mệnh đề đúng với n=1 tưc là A1 đúng.
 -B2: giả sử mệnh đề đúng với n=k ( k thuộc N*) Ak đúng.
 -B3: chứng minh Ak+1 đúng ( mệnh đề đúng với n=k+1).
 Kết luận An đúng với mọi n thuộc N*.
VD: CMR: số đường chéo của đa giác lồi n cạnh (n  4) bằng S n 
= n(n  3) .
 2
Lời giải:
 n(n  3)
 Ta chứng minh Sn = (1) đúng với mọi n  4.
 2
+) Ta thấy (1) đúng với n=4 vì S 4 =2, tứ giác có 2 đường chéo.
+) Giả sử khẳng định (1) đúng với n=k (k  4) tức là đa giác lồi k 
 k(k  3)
 cạnh có đường chéo.+) Ta sẽ chứng minh đa giác lồi k+1
 2
 (k 1)(k  2)
 cạnh có đường chéo, thật vậy khi thêm đỉnh thứ k+1 
 2
 (hình vẽ) thì có thêm k-2 đường chéo nối từ A k 2 đến A 2 , A 3 ,, 
A k 1 , ngoài ra cạnh A 1 A k cũng trở thành đường chéo. Do đó, S
 = S +(k-2)+1= k(k  3) +k-1= (k 1)(k  2)
 k 1 k 2 2
 Vậy khẳng định (1) đúng với mọi n thuộc N*, n  4.
Chuyên đề “ HÌNH HỌC TỔ HỢP” 9 TRƯỜNG THCS LẬP THẠCH GV ĐÀO HUY TRƯỜNG
 B. BÀI TẬP
Bài 1. Mỗi điểm của mặt phẳng được tô bởi một trong ba màu 
Đỏ, Xanh, Vàng. Chứng minh rằng tồn tại hai điểm được tô 
bởi cùng một màu mà độ dài .
 (Câu V Đề thi HSG Vĩnh Phúc năm học 2010-2011)
Bài 2. Mỗi ô vuông đơn vị của bảng vuông 10x10 được ghi một 
số nguyên dương không vượt quá 10 sao cho bất kì 2 số nào ghi 
trong hai ô chung một cạnh hoặc hai ô chung một đỉnh là hai số 
nguyên tố cùng nhau. CMR: có số được ghi ít nhất 17 lần.
 (Câu V Đề thi HSG Vĩnh Phúc năm học 2009-2010)
Bài 3: Cho đa giác lồi .Tại mỗi đỉnh người 
ta ghi một số thực sao cho giá trị tuyệt đối của hiệu hai số trên 
hai đỉnh kề nhau chỉ bằng 2 hoặc 3. Tìm giá trị lớn nhất có thể 
được của giá trị tuyệt đối của hiệu giữa hai số ghi trên mỗi cặp 
đỉnh của đa giác đã cho, biết rằng các số ghi tại các đỉnh đã cho 
đôi một phân biệt.
 (Câu V Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán Vĩnh Phúc năm học 2011-2012)
Bài 4.Một bảng hình vuông kích thước 10 x 10. Hỏi có thể điền 
được các số 1, 2, 3, .. . , 100 vào các ô của bảng ( mỗi ô điền một 
số) sao cho 2 tính chất sau đồng thời được thoả mãn:
 i) Tổng các số trên mỗi hàng, mỗi cột bằng nhau ( bằng S)
 ii) Với mỗi k= 1, 2, 3, . . ., 10, tổng các số ở các ô (i , j) ( 
 hàng i, cột j) 
với i – j  k ( mod 10) có tổng bằng S.
 (Câu V Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán Vĩnh Phúc năm học 2010-2011)
Bài 5: Cho đa giác lồi có diện tích S  24cm 2 . Chứng minh rằng: 
Bao giờ cũng vẽ được trong đa giác một đa giác có diện tích lớn 
hơn 6cm 2 .
Bài 6: Cho 2011 điểm trên mặt phẳng. Ba điểm tùy ý luôn tạo 
thành một tam giác có diện tích S  1. 
Chuyên đề “ HÌNH HỌC TỔ HỢP” 11 TRƯỜNG THCS LẬP THẠCH GV ĐÀO HUY TRƯỜNG
 TÀI LIỆU THAM KHẢO
 1. Hình học tổ hợp , Tác giả Vũ Hữu Bình
 2. Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ
 3. Hình học tổ hợp , Tác giả Nguyển Hữu Điển
Chuyên đề “ HÌNH HỌC TỔ HỢP” 13