Chuyên đề: Dãy số tự nhiên viết theo quy luật

 CHUYÊN ĐỀ 1: DÃY SỐ TỰ NHIÊN VIẾT THEO QUY LUẬT.
 I. Phương pháp dự đoán và quy nạp:
 Trong một số trường hợp khi gặp bài toán tính tổng hữu hạn 
Sn = a1 + a2 + .... an (1) 
Bằng cách nào đó ta biết được kết quả (dự đoán, hoặc bài toán chứng minh khi đã 
cho biết kết quả). Thì ta nên sử dụng phương pháp này và hầu như thế nào cũng 
chứng minh được.
 Ví dụ 1: Tính tổng Sn =1+3+5 +... + (2n -1)
Thử trực tiếp ta thấy : S1 = 1 
 2
 S2 = 1 + 3 =2 
 2
 S3 = 1+ 3+ 5 = 9 = 3 
 ... ... ...
Ta dự đoán Sn = n2 
Với n = 1; 2; 3 ta thấy kết quả đúng 
 2
Giả sử với n = k (k  1) ta có Sk = k (2)
 2
Ta cần phải chứng minh Sk + 1 = ( k +1 ) (3) 
Thật vậy cộng 2 vế của (2) với 2k +1 ta có 
1+3+5 +... + (2k – 1) + (2k +1) = k2 + (2k +1) 
 2 2 2
Vì k + (2k +1) = (k +1) nên ta có (3) tức là Sk+1 = ( k +1) 
Theo nguyên lý quy nạp bài toán được chứng minh 
Vậy Sn = 1+3 + 5 + ... + ( 2n -1) = n2 
Tương tự ta có thể chứng minh các kết quả sau đây bằng phương pháp quy nạp 
toán học.
1, 1 + 2+3 + .... + n = n(n 1)
 2
2, 12 + 2 2 + ..... + n 2 = n(n 1)(2n 1)
 6
 2
 3 3 3 n(n 1)
3, 1 +2 + ..... + n =  
  2 
4, 15 + 25 + .... + n5 = 1 .n2 (n + 1) 2 (2n2 + 2n – 1) 
 12
II. Phương pháp khử liên tiếp: ..... ..... ..... 
 n.n! = (n + 1) –n! 
Vậy Sn = 2! - 1! +3! – 2 ! + 4! - 3! +...... + ( n+1) ! – n! 
 = (n+1) ! - 1! = (n+ 1) ! - 1
Ví dụ 5 : tính tổng 
 3 5 2n 1
Sn =   ....... 
 (1.2) 2 (2.3) 2 n(n 1)2
 2i 1 1 1
Ta có :   ; i = 1 ; 2 ; 3; ....; n
 i(i 1)2 i 2 (i 1) 2
 1  1 1   1 1 
 )    .....    
Do đó Sn = ( 1- 2  2 2   2 2 
 2  2 3   n (n 1) 
 1 n(n  2)
 = 1- 
 (n 1)2 (n 1)2
III. Phương pháp giải phương trình với ẩn là tổng cần tính:
Ví dụ 6 : Tính tổng 
 S = 1+2+22 +....... + 2100 ( 4) 
Ta viết lại S như sau :
 S = 1+2 (1+2+22 +....... + 299 )
 S = 1+2 ( 1 +2+22+ ...... + 299 + 2 100 - 2100 ) 
 => S= 1+2 ( S -2 100 ) ( 5) 
Từ (5) suy ra S = 1+ 2S -2101
  S = 2101-1
Ví dụ 7: tính tổng 
 2 3 n 
 Sn = 1+ p + p + p + ..... + p ( p  1) 
Ta viết lại Sn dưới dạng sau : 
 2 n-1 
Sn = 1+p ( 1+p+p +.... + p )
 2 n-1 n n
Sn = 1 + p ( 1+p +p +..... + p + p –p ) 
 n
 S n = 1+p ( Sn –p ) 
 n+1
 S n = 1 +p.Sn –p 
 n+1
 S n ( p -1 ) = p -1 
 P n1 1
 S n = 
 p 1 n n
 = 3i 2  i
 i1 i1
 Theo (I) ta có :
 3n(n 1)(2n 1) n(n 1) 2
 Sn =   n (n 1)
 6 2
Ví dụ 11 . Tính tổng 
 3+ 3 3 3
 Sn = 1 +2 +5 +... + (2n +1 ) 
 ta có : 
 3 3 3 3 3 3 3 3 3
 Sn = [( 1 +2 +3 +4 +....+(2n+1) ] –[2 +4 +6 +....+(2n) ]
 = [13+23 +33 +43 + ..... + (2n +1 )3] -8 (13 +23 +33 +43 +......+ n3 ) 
 (2n 1) 2 (2n  2) 2 8n 2 (n 1) 2
 Sn =  ( theo (I) – 3 )
 4 4
 =( n+1) 2(2n+1) 2 – 2n2 (n+1)2 
 = (n +1 )2 (2n2 +4n +1) 
V/ Vận dụng trực tiếp công thức tính tổng các số hạng của dãy số cách đều ( Học 
sinh lớp 6 ) 
 • Cơ sở lý thuyết:
+ Để đếm số hạng của 1 dãy số mà 2 số hạng liên tiếp của dãy cách nhau cùng 1 
số đơn vị , ta dùng công thức: 
 Số số hạng = (số cuối – số đầu) : (khoảng cách) + 1 
+ Để tính tổng các số hạng của một dãy số mà 2 số hạng liên tiếp cách nhau cùng 
1 số đơn vị , ta dùng công thức:
 Tổng = (số đầu – số cuối) .(số số hạng) :2 
Ví dụ 12 : 
 Tính tổng A = 19 +20 +21 +.... + 132 
 Số số hạng của A là : ( 132 – 19 ) : 1 +1 = 114 ( số hạng )m
 A = 114 ( 132 +19 ) : 2 = 8607 
Ví dụ 13 : Tính tổng 
 B = 1 +5 +9 +.......+ 2005 +2009 
 số số hạng của B là ( 2009 – 1 ) : 4 + 1 = 503 
 B = ( 2009 +1 ) .503 :2 = 505515 
VI / Vân dụng 1 số công thức chứng minh được vào làm toán 
Ví dụ 14 : Chứng minh rằng : k ( k+1) (k+20 -9k-1)k(k+1) = 3k ( k +1 ) 2 3 99 100 
 b, S = 5 + 5 + 5 + ..... + 5 + 5
 c, C = 7 + 10 + 13 + .... + 76 
3, D = 49 +64 + 81+ .... + 169 
4, S = 1.4 + 2 .5 + 3.6 + 4.7 +.... + n( n +3 ) , n = 1,2,3 ,.... 
 1 1 1 1
5, S =    ........ 
 1.2 2.3 3.4 99.100
 4 4 4
6, S =   .... 
 5.7 7.9 59.61
 5 5 5 5
7, A =    ...... 
 11.16 16.21 21.26 61.66
 1 1 1 1
8, M =    ..... 
 30 31 32 32005
 1 1 1
9, Sn =   ..... 
 1.2.3. 2.3.4 n(n 1)(n  2)
 2 2 2
10, Sn =   ..... 
 1.2.3 2.3.4 98.99.100
 1 1 1
11, Sn =   ...... 
 1.2.3.4 2.3.4.5 n(n 1)(n  2)(n  3)
12, M = 9 + 99 + 999 +...... + 99..... .....9 
 50 chữ số 9 
13, Cho: S1 = 1+2 S3 = 6+7+8+9
 S2 = 3+4+5 S4 = 10 +11 +12 +13 + 14 
 Tính S100 =? 
 Trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi , tôi đã kết hợp các dạng toán có liên 
quan đến dạng tính tổng để rèn luyện cho các em , chẳng hạn dạng toán tìm x :
14, a, (x+1) + (x+2) + (x+3) +...... + ( x+100 ) = 5070 
 b, 1 + 2 + 3 + 4 +.............+ x = 820 
 1 1 1 2 2013
 c, 1 +   ...... 1
 3 6 10 x(x 1) 2015
Hay các bài toán chứng minh sự chia hết liên quan 
15, Chứng minh : a, A = 4+ 22 +23 +24 +..... + 220 là luỹ thừa của 2 
 b, B =2 + 22 + 2 3 + ...... + 2 60  3 ; 7; 15
 c, C = 3 + 33 +35 + ....+ 32015  13 ; 41
 d, D = 119 + 118 +117 +......+ 11 + 1  5 
 66666666666666666666666666666666666666666666666666666