SKKN Ứng dụng của đạo hàm vào giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình ở chương trình toán học phổ thông

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
	Trong các đề thi thpt quốc gia xuất hiện các bài toán giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình nhờ vào ứng dụng của đạo hàm. Và nhờ có sự vận dụng tính đơn điệu của hàm số vào giải toán mà lời giải trở nên trong sáng hơn, ngắn gọn hơn. Thực tế nhiều bài toán phương trình, bất phương trình,... giải bằng phương pháp biến đổi tương đương và biến đổi chúng đưa về các phương trình, bất phương trình cơ bản như phương trình, bất phương trình bậc nhất, bậc hai. Tuy nhiên, không phải bài nào cũng biến đổi dễ dàng như vậy mà phải vận dụng một số kỹ thuật giải. Một trong số những kỹ thuật đó là sử dụng đạo hàm của hàm số. Quan trọng hơn là trong các bài toán biện luận phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình, bài toán tìm điều kiện của tham số để thoả mãn một hoặc một số điều kiện nào đó, ta vận dụng đạo hàm để xác định miền giá trị của hàm số, miền giá trị của ẩn số phụ có trong bài toán mà ta đặt. Để từ đó ta có kết quả chính xác cho điều kiện của tham số. Từ các vấn đề nêu trên tôi chọn viết đề tài: “ Ứng dụng của đạo hàm vào giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình ở chương trình toán học phổ thông”.
1.2. Mục đích nghiên cứu: Tìm ra phương pháp giải nhanh và chính xác cho các bài toán giải, giải và biện luận phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình.
1.3. Đối tượng nghiên cứu: Vận dụng phương pháp dạy học tình huống cho học sinh THPT qua nhóm bài toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình.
1.4. Phương pháp nghiên cứu: Thực hiện mục tiêu nghiên cứu của đề tài tôi đã sử dụng kết hợp các phương pháp nghiên cứu sau:
	*Nhóm phương pháp nghiên cứu lí thuyết 
	Tìm hiểu lịch sử vấn đề nghiên cứu, khai thác qua tài liệu và thành tựu của các nhà nghiên cứu các khía cạnh liên quan trực tiếp đến phạm vi đề tài làm cơ sở để tiến hành quá trình nghiên cứu tiếp theo của mình.
	* Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn
- Phương pháp điều tra giáo dục: khảo sát mục tiêu, nội dung dạy học, chuẩn kiến thức, kĩ năng về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình ở trường THPT, khảo sát thực trạng dạy và học các bài toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình.
- Phương pháp phân tích, tổng hợp: phân tích, tổng hợp kết quả khảo sát thực trạng và kết quả dạy học thực nghiệm.
- Phương pháp thống kê, phân loại: thống kê, phân loại kết quả khảo sát thực trạng và kết quả dạy học thực nghiệm.
- Phương pháp so sánh: so sánh khả năng vận dụng của HS ở lớp thực nghiệm và lớp đối chứng qua bài kiểm tra cụ thể.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: tổ chức thiết kế giáo án thực nghiệm và dạy học thực nghiệm.
1.5. Những điểm mới của SKKN: SKKN này giúp giáo viên cũng như học sinh có được phương pháp mới trong sáng hơn, tường minh hơn trong việc giải các bài toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình. Hơn nữa học sinh đứng trước bài toán chứa tham số không còn cảm giác sợ và lúng túng như trước đây nữa.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1.Cơ sở lý luận
1.1 Định nghĩa đạo hàm:
1.2 Đạo hàm của các hàm cơ bản, hàm hợp:
Hàm hợp: 
1.3 Các phép toán đạo hàm:
1.4 Tính đơn điệu của hàm số.
Hàm số xác định trên khoảng (a;b). Nếu và tại hữu hạn điểm trên khoảng (a;b) thì ta nói hàm số đồng biến (nghịch biến) trên khoảng (a;b).
1.5 Sử dụng tính chất của hàm số để giải pt. Áp dụng tương tự cho bất pt.
Các hướng áp dụng:
Hướng 1: Bước 1: Chuyển pt về dạng f(x) = k
	Bước 2: Xét hàm số y = f(x). Tính đạo hàm và sử dụng giả thiết lập luận khẳng định hàm số đồng biến hoặc nghịch biến.
Bước 3 : Nhận xét : Với x = x
 Do đó x = x là nghiệm 
 Với x > x pt vô nghiệm
 Với (>) =.pt vô nghiệm
 Vậy là nghiệm duy nhất của pt.
Hướng 2 : Bước 1 : Chuyển pt về dạng :
 Bước 2 : Xét hàm số ,
Dùng lập luận khẳng định hàm số y= là đồng biến và hàm số y là hàm hằng hoặc nghịch biến.
 Xác định sao cho .
 Bước 3: Vậy pt có nghiệm duy nhất .
Hướng 3 : Bước 1 :Chuyển pt về dạng : 
 Bước 2 :Xét hàm số y=
 Dùng lập luận khẳng định hàm số đồng biến hoặc nghịch biến.
 Bước 3 : 
Chú ý : Tương tự vận dụng các hướng 1 và hướng 3 ở trên cho bất pt.
 Định lý Rôn : Nếu hàm số y = f(x) lồi hoặc lõm trên miền D thì phương trình f(x) = 0 sẽ không có quá hai nghiệm thuộc D. 
	Giả sử cần giải phương trình f(x) = 0 ta thực hiện các bước sau :
Hướng 4 :Bước 1 : Tìm TXĐ D của pt
 Bước 2 : Xét hàm số y = f(x) trên D. Sử dụng đạo hàm khẳng định rằng hàm số y = f(x) lồi hoặc lõm trên miền D.
 Bước 3 : Vậy pt nếu có nghiệm sẽ không có quá hai nghiệm. Ta cần chỉ ra hai giá trị sao cho 
 Bước 4 : Kết luận 
Hướng 5 : Lập bảng biến thiên tìm miền giá trị của hàm số và vận dụng vào các bài toán liên quan.
2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm : 
Khó khăn khi giải một số bài toán pt, bpt, hệ pt và hệ bất pt bằng các phép biến đổi tương đương không đưa về các pt cơ bản, bất pt cơ bản, hệ pt cơ bản. Phương trình cơ bản gồm pt bậc nhất và pt bậc hai, bất pt bậc nhất, bất pt bậc hai. Hệ pt cơ bản như hệ pt bậc nhất hai ẩn, hệ pt gồm một pt bậc nhất và một pt bậc hai, hệ pt đối xứng loại một, loại hai, hệ đẳng cấp...
Dùng bất đẳng thức chưa đánh giá chặt chẽ miền giá trị của biến số ẩn phụ cũng như miền giá trị của hàm số. Do đó không xác định chính xác được điều kiện của tham số trong các bài toán biện luận pt, bất pt, hệ pt, hệ bất pt.
Vận dụng đạo hàm, xét tính đơn điệu của hàm số ta có thể chứng minh pt vô nghiệm, pt có một nghiệm, hai nghiệm và tìm được nghiệm của pt bằng cách nhẩm nghiệm. Và vận dụng đạo hàm cho ta lời giải chặt chẽ, chính xác trong các bài toán tìm điều kiện của tham số. 
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
3.1 Vận dụng tính đơn điệu của hàm số vào giải phương trình.
Giáo viên đưa ra hệ thống các bài tập vận dụng để học sinh thấy được ưu điểm của phương pháp dùng đạo hàm xét tính đơn điệu của hàm số vào giải phương trình.
Bài 1. Giải pt:.
Giải: Xét hàm số 
TXĐ : 
, 
 hàm số đồng biến trên D.
Mặt khác pt có nghiệm duy nhất x = 9.
Bài 2. Giải pt : 
Giải : ĐK : x
Xét hàm số 
 >0 
 hàm số đồng biến trên D= 
 g’(x)=
 hàm số nghịch biến trên D.
Do đó pt f(x) = g(x) nếu có nghiệm thì nghiệm đó là nghiệm duy nhất. Nhận thấy x = 1 thoả mãn phương trình
Vậy pt có nghiệm x = 1.
Bài 3 . Giải phương trình :
 a. 
 b. 
 c. 
Giải:
a. ĐK : . Đặt 
	. Hàm số đồng biến trên 
	. Hàm số nghịch biến trên D.
Pt có nghiệm duy nhất x = 4.
b. ĐK: xR
pt (1)
Xét hàm số .
Nhận xét: 
. Hàm số f(x) đồng biến.Từ (1) ta có:.
Vậy pt vô nghiệm.
c. ĐK: 
Đặt .pt có dạng: 
Xét hàm số , 
. 
Pt 
Bài 4. Giải pt: 
Giải: ĐK: 
Pt . 
Xét hàm số trên 
Ta có: 
Hàm số lồi trên D.
Vậy pt nếu có nghiệm sẽ có không quá hai nghiệm, ta có 
Do đó pt có hai nghiệm x = 0 và x = 3.
Bài 5. Giải pt : 
Giải : ĐK : 
Viết lại pt dưới dạng : 
Xét hàm số trên 
Ta có : 
Hàm số lồi trên D. Vậy pt nếu có nghiệm sẽ không quá hai nghiệm.
Lại có :. Do đó pt có hai nghiệm x = 0 và x = 1.
Nhận xét: Trong hai ví dụ trên ta sử dụng định lý Rôn. Ở ví dụ thứ nhất ta có thể thực hiện bài toán bằng phương pháp biến đổi tương đương đưa về phương trình bậc 4, nhưng đối với ví dụ thứ hai ta sẽ nhận được một pt bậc 8, khi đó cho dù nhẩm được 2 nghiệm x = 0 và x = 1 thì chúng ta vẫn phải thực hiện tiếp việc giải một pt bậc 6 và điều này hoàn toàn không khả thi để từ đó thấy được tính ưu việt của phương pháp đạo hàm đối với bài này.
Bài tập tham khảo thêm : Giải các pt sau :
 	a.	d. 
 	b. 	e. 
 	c. 	 f. 	
Bài 6. Tìm m để pt: có nghiệm.
Giải: Cách 1: Dùng tam thức bậc 2.
Cách 2: Đặt 	, 
Từ bbt 
Pt.
Xét hàm số với 
Từ bbt pt có nghiệm khi hoặc .
Bài 7. Tìm m để pt : có nghiệm.
Giải: Đặt với 
Từ bbt 
Và 
Xét hàm sốvới 
Từ 
Vậy .
Bài 8. Cho pt: . Tìm m để pt có nghiệm duy nhất.
Giải: pt . Đặt 
Pt . Xét hàm số 
Pt có nghiệm duy nhất 
Bài 9. Tìm m để các pt sau đây có nghiệm.
a, .
b, (1).
Giải:
a, Đặt ; 
pt 
 , không phải là nghiệm của pt)
Xét hàm số với 
Từ bbt suy ra để pt có nghiệm khi .
Vậy .
b, Nhận thấy x = 0 là nghiệm của pt(1) .
Xét thì x = 0 không phải là nghiệm
Đặt , 
Từ bbt 
Xét hàm số với hoặc 
Từ bbt với và thì pt có nghiệm.
Vậy .
Nhận xét : Áp dụng phương pháp khảo sát chiều biến thiên của hàm số.
Giả sử hàm số đơn điệu trên (a ;b) thì trên (a ;b) phương trìnhcó nhiều nhất 1 nghiệm.
Khi gặp pt vô tỷ có chứa tham số m, ta biến đổi pt ấy về dạng (*)
+ Phương trình (*) có nghiệm m thuộc miền giá trị của hàm số .
+ Số nghiệm của (*) bằng số giao điểm của đồ thị và đường thẳng .
Bài 10. Tìm a để pt: có nghiệm duy nhất.
Giải: 
Xét hàm số: . 
Pt có nghiệm duy nhất 
Bài 11 . Giải và biện luận phương trình.
 	 với 
Hướng dẫn : ĐK : . pt .
Xét hàm số 
 = hàm số đồng biến 
 pt
3.2 Vận dụng tính đơn điệu của hàm số vào giải bất phương trình
Bài 1. Giải bất pt: .
Giải: 
TXĐ : 
Nhận thấy 
 đã cho tương đương với 
Vậy nghiệm của bpt là 
Bài 2 . Giải bất pt : 
Giải : ĐK : 
Viết lại bất pt dưới dạng : 
Xét hàm số Ta thấy ngay hàm số đồng biến trên 
Khi đó bất pt được biến đổi như sau : 
Vậy nghiệm của bất pt là 
Bài 3. Giải bpt 
Giải: ĐK : 
Xét hàm số 
Vậy bpt có nghiệm .
Bài tập tham khảo thêm : Giải các bất pt :
a) 
b) 
Giải bất pt có chứa tham số ta thực hiện các bước sau :
Chuyển bất pt về dạng : (hoặc )
Bước 1 : Xét hàm số y = f(x,m) : 
- Tìm TXĐ
Tính y’, gpt y’ = 0
Lập bảng biến thiên của hàm số
Bước 2 : Kết luận cho các trường hợp sau :
bpt có nghiệm (hoặc )
bpt nghiệm đúng với mọi x ( hoặc )
Bài 4. Tìm m để bpt thoả mãn 
Giải : Đặt .ĐK:
Từ bbt 
Bpt 
Để bpt thoả mãn .
Bài 5. Cho bpt: . Tìm m để bpt có nghiệm.
Giải: ĐK: đặt , 
 có nghiệm.
 có nghiệm.
 , 
Từ bbt suy ra bpt có nghiệm 
Bài 6. Cho bpt: . Tìm a để bpt nghiệm đúng 
Giải: (vì )
Đặt 
; 
Vậy .
Nhận xét: - Một số bài phải dựa vào định lý đảo về dấu của tam thức bậc 2. Trong khi đó định lý đảo đã bỏ khỏi chương trình học phổ thông
 - Ưu điểm của tính đạo hàm ta tìm được chính xác miền giá trị của biến số phụ cũng như của hàm số, trên cơ sở đó tìm được điều kiện của tham số.
Bài 7. Tìm m để bpt sau có nghiệm .
Giải:
Đặt 
Xét hàm số 
Khi 
Để bpt có nghiệm thì 
Khi để bpt có nghiệm khi 
Vậy hoặc .
Bài 8. Cho bpt 
Tìm m để bpt nghiệm đúng thoả mãn điều kiện: 
Giải: Chia cả hai vế của bđt cho 
Bpt 
Đặt . Do 
Bpt 
Với t = 1 thì bpt thoả mãn với mọi m
. Xét hàm số với t > 1
Để thì . Vậy .
Nhận xét: Khi dạy học phần này cần nhấn mạnh cho học sinh phân biệt bài toán tìm điều kiện của tham số để bpt có nghiệm và bpt có nghiệm thoả mãn một điều kiện nào đó.
Bài 9. Tìm a để nghiệm của bất phương trình: 
 chứa đoạn .
Giải: * Đk cần:
Giả sử bpt đã cho đúng 
Đặt 
Khi đó ta có 
Vậy đk cần phải tìm là a < -1.
* Đk đủ : Giả sử a < -1
Ta có
Do và a < 1 
đồng biến trên 
thì (do a < - 1)
Vậy đều là nghiệm của bpt 
Vậy a < -1 là điều kiện cần và đủ để nghiệm bpt chứa đoạn 
Bài 10. Tìm x để 
Giải: , 
Đặt	
, 
 hàm số t đồng biến trên 
 với 
Xét hàm số với 
Từ 
. Vậy .
3.3 Vận dụng tính đơn điệu của hàm số vào giải hệ phương trình
Bài 1. Giải hệ pt: 
Giải: ĐK: 
Hpt 
Xét hàm số . Hàm số đồng biến trên 
hàm số nghịch biến trên D
Do đó pt f(x) = g(x) nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất. nhận thấy x = 1 thoả mãn pt
Vậy hệ pt có nghiệm x = 1 và y = 0
Bài 2 . Giải hpt : 
Giải: Thế (2) vào(1) ta được :
Đặt : . 
 H/số đồng biến trên R.
Từ 
hpt 
Vậy hệ pt có nghiệm và .
Bài tập tham khảo thêm: Giải các hệ pt: 
a ) 	b) 
Bài 3. Tìm m để hệ sau có nghiệm: 
Giải: Đặt . Ta được hệ 
Hệ đã cho có nghiệm hệ sau đây có nghiệm
. 
(*) 
Xét hàm số . 
Để hệ pt có nghiệm khi .
Nhận xét: Có thể dùng phương pháp tam thức bậc hai để làm bài này.
Bài 4. Giả sử (x;y) là nghiệm của hệ pt 
Xác định a để xy nhỏ nhất.
Giải: Đặt . Ta có hệ pt 
ĐK để hệ có nghiệm 
. Xét hàm số , 
 khi 
Bài 5. Cho hệ ptTìm m để hệ có nhiều hơn hai nghiệm.
Giải: Hpt 
Hệ có nhiều hơn hai nghiệm có đúng 3 nghiệm phân biệt 
(1) . Xét hàm số . 
Bbt có 3 nghiệm 
Bài 6. Xác định giá trị âm của a để hpt : có nghiệm duy nhất.
Giải: Ta có hệ pt : 
(2) 
Tương tự : (1) 
Mặt khác (1) – (2) 
 (x-y)(xy+x+y)=0
Do 0 0 
Hpt
Xét 
Vì a < 0 nên đường thẳng y = a cắt đồ thị hàm số y = f(x) đúng 1 lần. Do đó với mọi a < 0, hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
3.4 Vận dụng tính đơn điệu của hàm số vào giải hệ bất phương trình
Bài 1 . Tìm a để hệ bất pt sau đây có nghiệm : 
Giải: 3 (1)
Xét h/số :f(x) = 4.
 = 4. < 0.
 => Hàm số nghịch biến trên R và f(2)=1
Từ ( 1) .
Từ bpt thứ 2 : 1+log 
 , 
Từ bbt ta có: 2a 
Vậy với thì hệ bất pt có nghiệm.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Qua ôn luyện hệ thống các bài toán vận dụng đạo hàm xét tính đơn điệu của hàm số vào giải pt, bất pt, hệ pt và hệ bất pt cho học sinh tôi nhận thấy học sinh tự tin hơn khi làm những bài tập dạng này, dễ dàng định hướng và xác định được các hàm số cần xét tính đơn điệu. Quan trọng hơn là học sinh không thấy sợ những bài toán có chứa tham số, những bài toán biện luận. Ngoài ra học sinh còn vận dụng phương pháp này vào các bài toán liên quan như tìm điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng nào đó...Và ở học sinh đã hình thành kĩ năng, chương trình làm một bài toán theo một sơ đồ bước giải.
3 . KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 
3.1. Kết luận : Trên đây là phương pháp vận dụng đạo hàm vào giải pt, bất pt, hệ pt và hệ bất pt. Qua phương pháp này nhằm pháp triển tư duy qua việc giải một số bài tập toán. Vận dụng phương pháp này vào trong giảng dạy giúp cho học sinh thấy được tổng quan về kiến thức toán học, nhận thức sâu sắc về toán học, tạo nên niềm đam mê và hứng thú học tập. Mỗi giáo viên chúng ta hãy xây dựng hệ thống bài tập phù hợp với năng lực hiện có của học sinh, đa dạng phong phú các thể loại nhằm luyện cho học sinh đầy đủ kiến thức, phân bậc hoạt động phù hợp và tạo nguồn cảm hứng sáng tạo trong mỗi học sinh.
	Lưu ý, trên đây là một số bài toán phù hợp với học sinh có nguyện vọng học chuyên sâu để thi đại học cao đẳng, luyện thi học sinh giỏi, luyện thi thử đại học ở các trường phổ thông trung học.
	Trong thực tế của từng địa phương, của từng trường phổ thông, mỗi giáo viên hãy trang bị cho bản thân một vốn kiến thức sâu rộng và vững chắc, đồng thời có những phương pháp giảng dạy mới phù hợp, thích ứng với đối tượng học sinh thông qua truyền thụ các kiến thức cơ bản và hệ thống bài tập phù hợp với năng lực học sinh nhằm phát triển tư duy cho học sinh và tăng hiệu quả trong giáo dục. 
	3.2. Kiến nghị : Qua một số năm giảng dạy, bản thân cá nhân tôi nhận thấy lượng kiến thức trong chương trình toán THPT quá nhiều, nội dung chương trình chưa phù hợp với thực tế xã hội đang còn mang nặng hình thức lý thuyết. Vì vậy tôi xin có vài ý kiến đề xuất như sau:
	- Cắt bỏ một số nội dung chương trình như: phép biến hình, thống kê. Những phần này ta đưa vào chương trình đào tạo ở đại học, cao đẳng, trung cấp của các nghành nghề liên quan. 
	- Tăng cường các bài toán mang tính ứng dụng thực tiễn để học sinh thấy toán học gần gủi và có ý nghĩa. Và từ đó học sinh có nhu cầu học toán và khám phá toán học.
Bài viết kết thúc ở đây. Mong được sự góp ý kiến của mọi người để sáng kiến kinh nghiệm của tôi hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 25 tháng 5 năm 2019
Tôi xin cam đoan SKKN này là của tôi viết, không sao chép nội dung của người khác. Tôi xin chịu trách nhiệm về bài viết này.
Người viết SKKN
Nguyễn Thị Bắc