SKKN Sử dụng phương pháp số phức để giải một số dạng toán Vật lý lớp 12 có hàm dao động điều hòa và ứng dụng giải nhanh trên máy tính cầm tay

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
TRƯỜNG THPT ĐÔNG SƠN 2
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN VẬT LÝ LỚP 12 CÓ HÀM DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA VÀ ỨNG DỤNG GIẢI NHANH TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY 
Người thực hiện: Lê Duy Dũng
Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn
SKKN thuộc lĩnh vực: Vật Lý
THANH HOÁ NĂM 2017
MỤC LỤC
A. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
	Với việc chuyển đổi hình thức thi từ tự luận sang trắc nghiệm trong các kỳ thi, đặc biệt là thi THPT Quốc gia, yêu cầu học sinh không những nắm chắc kiến thức mà cần có kết quả chính xác trong khoảng thời gian ngắn. Chính vì vậy, cần sử dụng phương pháp nào cho kết quả chính xác và nhanh nhất. Trong số các phương pháp, tôi nhận thấy phương pháp số phức là một phương pháp đơn giản, và đặc biệt học sinh có thể sử dụng máy tính cầm tay để giải nhanh các bài toán trắc nghiệm cho kết quả nhanh và chính xác. Học sinh chỉ cần nắm được những kiến thức cơ bản về số phức. 
Xuất phát từ những lý do trên, tôi chọn đề tài “Sử dụng phương pháp số phức giải một số dạng toán Vật lý lớp 12 có hàm dao động điều hoà và ứng dụng giải nhanh trên máy tính cầm tay”.
2. Mục đích nghiên cứu:
+ Đề tài nghiên cứu giúp các em học sinh có thêm một lựa chọn tốt khi giải các bài toán liên quan đến hàm dao động điều hòa, từ đó vận dụng nhanh, linh hoạt vào việc giải các bài tập, góp phần hình thành lòng say mê, sự hào hứng tạo điều kiện để các em học sinh học tốt khi học tập bộ môn vật lí. Góp phần nâng cao chất lượng, số lượng học sinh khá giỏi bộ môn vật lí.
	+ Thấy được ứng dụng của phương pháp số phức trong việc giải bài toán Vật lý lớp 12 và ứng dụng giải nhanh các bài toán trên máy tính cầm tay.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
* Đối tượng nghiên cứu:
+ Kiến thức cơ bản về số phức và biểu diễn số phức
+ Các bài toán về dao động cơ, sóng cơ, mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp
+ Phương pháp giải bài tập dao động cơ, sóng cơ mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp bằng số phức và ứng dụng giải trên máy tính cầm tay Casio fx-570ES; fx-570ES PLUS; fx-570VN PLUS hoặc Vinacal 570 ES PLUS; Vinacal 570 ES PLUS II.
* Phạm vi nghiên cứu:
+ 	Các bài tập về dao động cơ, sóng cơ và mạch điện xoay chiều RLC thuộc chương trình vật lý lớp 12 cơ bản.
4. Phương pháp nghiên cứu:
	+ Tìm hiểu, đọc, phân tích, tổng hợp các tài liệu trên mạng internet, sách tham khảo. 
	+ Tổng hợp từ kinh nghiệm giảng dạy của bản thân và học hỏi kinh nghiệm giảng dạy của các đồng nghiệp trong các đợt tập huấn chuyên môn, bồi dưỡng thay sách giáo khoa.
	+ Lựa chọn các dạng bài tập phù hợp với nội dung, kiến thức của đề tài.
+ Quan sát biểu hiện hứng thú của học sinh và sự linh hoạt của học sinh khi thực hiện các thao tác của phương pháp giải bài tập bằng số phức và ứng dụng giải trên máy tính cầm tay Casio fx-570ES; fx-570ES PLUS; fx-570VN PLUS hoặc Vinacal 570 ES PLUS; Vinacal 570 ES PLUS II.
B. NỘI DỤNG
ỨNG DỤNG SỐ PHỨC GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN VẬT LÍ LỚP 12 CÓ HÀM DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA VÀ GIẢI NHANH TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY
2.1. Cở sở lí thuyết:
Lí thuyết về số phức, biểu diển một dao động điều hòa bằng số phức
2.1.1. Các dạng biểu diễn của số phức:
a. Dạng đại số: 
	z = a + b.i còn gọi là dạng đại số hay dạng nhị thức của số phức.
	Trong đó: a là phần thực , b là phần ảo, i là đơn vị ảo với i2 = -1.
b. Dạng hình học: 
	 Mọi số phức z = a + bi đều có thể biểu diễn trên mặt phẳng Oxy dưới dạng điểm A(a,b) với hoành độ a, tung độ b và ngược lại. Mọi điểm A(a,b) của mặt phẳng Oxy đều có thể xem như là ảnh của số phức a + b.i.
Nếu z = a: Thì A(a,0) nằm trên trục Ox. Vì vậy, trục Ox còn được gọi là trục thực.
Nếu z = bi: Thì A(0,b) nằm trên trục Oy. Vì vậy, trục Oy còn được gọi là trục ảo.
Nối điểm A(a,b) với gốc tọa độ, ta được vectơ . Trong nhiều trường hợp, người ta xem véctơ  như là biểu diễn hình học của số phức z = a + bi.
c. Dạng lượng giác:
 Cho số phức z = a +bi và  là vectơ biểu diễn hình học của z trên mặt phẳng xOy. 
	 Khi đó: độ dài  của véctơ  được gọi là mođun của số phức z. Góc định hướng giữ tia Ox và vectơ  (đo bằng radian) là   được gọi là argument của số phức z.
	Như vậy: ; .
	Do đó:  được gọi là dạng lượng giác của số phức z và có thể biểu diễn dưới dạng véctơ như sau: 
Trong đó: r = ; 
2.1.2. Những phép tính cơ bản trên số phức:
 Cho hai số phức z = a + b.i và w = c + d.i. 
	* Phép cộng:  z + w = (a + c) + (b + d)i 
	* Phép nhân:  z .w = (ac – bd) + (ad + bc)i
	* Phép chia: 
2.1.3. Biểu diễn một hàm điều hoà dưới dạng số phức:
x
j 
y
a
b
0
Hàm điều hoà: x = Acos(wt +j) biểu diễn dưới dạng véc tơ quay tại thời điểm t = 0: 
 ta thấy 
Vậy t = 0 hàm điều hoà có thể biểu diễn bằng số phức: x = Acos(wt + j) 
với a = Acosj; b = Asinj; ; 
Ví dụ: Ta có dao động điều hòa sau:
	Khi đã chuyển hàm dao động điều hòa sang dạng số phức ta có thể tính toán các bài toán có hàm điều hòa bằng phương pháp số phức. 
	Ví dụ các bài toán sau:
Phần dao động cơ: 
	Bài toán viết phương trình dao động là bài toán chuyển số phức biểu diễn dao động điều hòa từ dạng tọa độ đề các sang dạng tọa độ cực.
	Bài toán xác định điều kiện ban đầu của dao động điều hòa.
	Bài toán tổng hợp hai dao động điều hòa chính là bài toán cộng hai số phức biểu diễn hai dao động ấy.
Phần Sóng cơ:
	Bài toán viết phương trình giao thoa sóng tại một điểm bất kỳ khi có sóng truyền qua.
Phần điện xoay chiều:
	Bài toán cộng điện áp chính là bài toán cộng hai số phức biểu diễn hai điện áp ấy.
	Bài toán tính tổng trở của mạch và góc lệch pha u, i là bài toán chuyển số phức từ dạng tọa độ đề các sang hệ tọa độ cực.
	Bài toán viết biểu thức điện áp và biểu thức dòng điện chính là bài toán nhân chia hai số phức biểu diễn tổng trở với dòng điện hoặc điện áp.
	Bài toán hộp đen là bài toán mà dựa vào số phức biểu diễn tổng trở để biết linh kiện chứa trong hộp đen là gì.
	Phương pháp này có kết quả hoàn toàn giống như các phép giải thông thường tuy nhiên được sự hỗ trợ của máy tính cầm tay nên có lợi hơn nhiều về mặt thời gian.
2.1.4. Các bước thực hiện giải bài toán Vật lí bằng số phức:
Quy ước: Chọn một véctơ làm chuẩn (trục thực) , sau đó xác định số đo góc của các véctơ thứ 2, thứ 3theo chiều dương quy ước của đường tròn lượng giác.
* Bước 1: bước chuẩn bị nhập số liệu vào máy
- Chuyển sang chế độ dùng số phức: nhấn MODE 2
- Chuyển sang đơn vị đo góc là radian (nếu đơn vị góc là radian): nhấn SHIFT MODE 4. Khi đó, máy hiển thị:
* Bước 2: nhập biểu thức hay a + b.i và các phép toán cơ bản (cộng, trừ, nhân và chia) 
- Nhập biểu thức ta nhấn độ lớn của SHIFT (-) giá trị của góc 
Ví dụ: ta nhấn: 5 SHIFT (-) SHIFT x10x 3
Máy hiển thị:
- Nhập biểu thức a + b.i ta nhấn giá trị của a + giá trị của b ENG 
Ví dụ: 3 + 2.i ta nhấn: 3 + 2 ENG 
Máy hiển thị:
* Bước 3: Hiển thị và đọc kết quả
Sau khi nhập các biểu thức và các phép toán cơ bản ta được kết quả. Tuy nhiên, MTCT sẽ cho ra kết quả dưới dạng đại số nếu ta không cài đặt hiển thị dưới dạng lượng giác. Do đó, hiện thị kết quả sang dạng lượng giác bằng cách nhấn SHIFT 2 3 =. Ngược lại, nếu muốn hiển thị dạng đại số ta nhấn
SHIFT 2 4 =
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Trong thực tế ôn luyện học sinh, các bài toán vật lý liên quan tới hàm điều hòa mà trong chương trình vật lý 12 là các bài của chương dao động cơ, sóng cơ, dòng điện xoay chiều và sóng điện từ. Phương pháp thông thường để giải các bài toán này là phương pháp lượng giác hoặc phương pháp giản đồ vectơ quay Fre-nen, các phương pháp này (phương pháp truyền thống) đủ để học sinh giải quyết được các nhiệm vụ đề ra của bài tập trong chương trình. Tuy nhiên các phương pháp này thường dài, học sinh giải phải nhớ nhiều công thức, qua nhiều bước biến đổi và cần một lượng thời gian tương đối nhiều. Trong khi thời gian làm bài thi trắc nghiệm trong các kỳ thi có hạn (trung bình 1,25 phút một câu, đối với thi THPT Quốc gia) nên nếu không có phương pháp làm nhanh, phù hợp, có thể áp dụng cho nhiều dạng toán thì không thể đạt được kết quả tốt trong các kỳ thi. 
Để khắc phục thực trạng trên với sự hỗ trợ của MTCT Casio fx-570ES; fx-570ES PLUS; fx-570VN PLUS hoặc Vinacal 570 ES PLUS; Vinacal 570 ES PLUS II ta có thể giải bài toán trên nhanh hơn với một phương pháp mới là “phương pháp sử dụng số phức”.
2.3. Nội dung cụ thể:
2.3.1. Ứng dụng số phức trong dao động điều hoà:
2.3.1.1. Viết phương trình li độ dao động điều hòa:
Cơ sở lý thuyết:
Ta có: 
Vậy có thể được biểu diễn dưới dạng số phức lúc t = 0 như sau: với 
Phương pháp giải số phức: 
Biết lúc t = 0 có: 
+ Ví dụ 1: Cho hệ con lắc lò xo đặt nằm ngang không ma sát. Lò xo có độ cứng k = 100 N/m, m = 250g. Chọn gốc tọa độ ở vị trí cân bằng. Kéo viên bi đến vị trí có tọa độ + 5 cm rồi truyền cho nó vận tốc 100cm/s hướng về vị trí cân bằng. Viết phương trình dao động.
* Hướng dẫn giải:
Phương pháp truyền thống
Phương pháp dùng số phức
Nhấn: MODE 2 CMPLX)
Tính tần số góc: 
Tính A: 
Tính :
 rad
Chọn rad vì viên bi chuyển động theo chiều âm: 
Ta có: Nhập vào máy: 5 - -100 3 100 0 . 25 ENG = SHIFT 2,3 =
Máy hiển thị: 
Kết quả: A = 10 cm và rad
Vậy phương trình dao động điều hòa là: 
+ Ví dụ 2: Một vật m gắn vào một đầu của một lò xo nhẹ dao động với chu kì 1 s. Người ta kích thích dao động bằng cách kéo vật m khỏi VTCB ngược chiều dương một đoạn 3 cm rồi thả nhẹ. Chọn gốc toạ độ ở VTCB, gốc thời gian là lúc thả vật. Viết phương trình dao động
* Hướng dẫn giải: - rad
- ta có x0 = - 3 cm, v0 = 0
- Ấn máy -3 Shift/2/3 cm
+ Ví dụ 3: Cho một con lắc lò xo vật nhỏ có khối lượng m = 250 g, độ cứng K = 25 N/m. Từ vị trí cân bằng người ta truyền cho vật một vận tốc 40 cm/s theo chiều dương. Viết phương trình dao động của vật chọn gốc toạ độ ở VTCB, gốc thời gian là lúc truyền vận tốc cho vật.
* Hướng dẫn giải: - rad/s
- Ta có x0 = 0, v0 = 40 cm/s Þ 
- Ấn máy: -4i Shift/2/3 Máy hiển thị cm
2.3.1.2 Tìm điều kiện kích thích ban đầu:
+ Ví dụ 4: Một vật dao động điều hoà với phương trình x = 4cos(4pt- p) cm. Tìm điều kiện kích thích ban đầu
* Hướng dẫn giải: Để nhập ấn 4/Shift/(-)/-p/ = Máy hiển thị - 4 bây giờ so sánh
 Þ x0 = - 4, v0 = 0 
- Ta có kết luận ban đầu kéo vật tới vị trí có li độ - 4 cm rồi thả nhẹ
+ Ví dụ 5: Một vật dao động điều hoà với phương trình cm. Tìm điều kiện kích thích ban đầu
* Hướng dẫn giải: Để nhập ấn 4/Shift/(-)//= Máy hiển thị 4i bây giờ so sánh Þ x0 = 0, v0 = -4.w = - 40 cm/s Vậy ta có kết luận ban đầu tại vị trí cân bằng người ta truyền cho vật một vận tốc 40 cm/s theo chiều âm. 
+ Ví dụ 6: Một vật dao động điều hoà với phương trình cm. Tìm điều kiện kích thích ban đầu
* Hướng dẫn giải: Để nhập ấn /Shift/(-)/-/= Máy hiển thị 4- 4i bây giờ so sánh Þ x0 = 4, v0 = 4.w = 4p cm/s Vậy ta có kết luận ban người ta kéo vật tới li độ 4 cm rồi truyền cho vật một vận tốc 4p cm/s theo chiều dương
2.3.1.3. Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số:
Hai dao động thành phần có phương trình: 
x1 = A1cos (wt + j1) và x2 = A2cos (wt + j2) 
Phương trình tổng hợp: x = x1 + x2 = Acos (wt + j) 
Trong đó: biên độ và pha ban đầu được xác định bởi công thức 
A2 = A12 + A22 + 2A1A2cos (j2 - j1); tanj = 
* Khi dùng số phức để tổng hợp hai hay nhiều dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, chúng ta nhập máy như hình thức sau: 
A1 Ð j1 + A2 Ð j2 à A Ð j
* Khi biết một dao động thành phần x1 = A1cos (wt + j1) và dao động tổng hợp x = Acos(wt + j) thì dao động thành phần còn lại là x2 = x - x1 => x2 = A2cos(wt + j2). Khi đó, ta dùng số phức để tìm phương trình dao động còn lại bằng cách nhập máy như hình thức sau: A Ð j - A1 Ð j1 à A2 Ð j2
+ Ví dụ 7: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương trình: x1 = 5cos(t +/3) (cm); x2 = 5cost(cm). Dao động tổng hợp của vật có phương trình.
* Hướng dẫn giải:
Phương pháp truyền thống
Phương pháp dùng số phức
Nhấn: MODE 2 (CMPLX)
Tính A:
Tính : 
rad
Vậy phương trình dao động tổng hợp: 
Ta có: x = x1 + x2
Nhập vào máy: 5 SHIFT (-) SHIFT x10x 3 + 5 = SHIFT 23 = 
Máy hiển thị: 
Kết quả: A = và rad
Vậy phương trình dao động tổng hợp là: 
+ Ví dụ 8: Một chất điểm dao động điều hoà có phương trình dao động tổng hợp x = 5cos(pt + 5p/12) với các dao động thành phần cùng phương, cùng tần số là x1 = A1 cos(pt + j1) và x2 = 5cos(pt + p/6 ), pha ban đầu của dao động thứ nhất là
* Hướng dẫn giải:
Phương pháp truyền thống
Phương pháp dùng số phức
Nhấn: MODE 2 (CMPLX)
Tính và A1 bằng giản đồ fre-nen hay giải hệ phương trình hai ẩn với hai phương trình sau:
Cách làm này tốn nhiều thời gian.
Ta có: x1 = x - x2
Nhập vào máy: 5 2 SHIFT (-) 5 SHIFT x10x 12 
 - 5 SHIFT (-) SHIFT x10x 6 = SHIFT 23 = 
Máy hiển thị:
Kết quả: A = và rad
2.2.2. Ứng dụng số phức trong giải toán về Sóng cơ
+ Ví dụ 9: Hai nguồn kết hợp cùng phương A, B cách nhau 10cm tạo ra sóng ngang lan truyền trên mặt nước có phương trình dao động là uA = 4cos(20pt + p/6) (mm); uB = 4cos(20pt - p/3) (mm), thời gian t tính bằng giây. Coi biên độ sóng không giảm khi truyền đi, tốc độ truyền sóng trên mặt nước là 0,2 m/s. Xác định phương trình dao động của điểm M trên mặt nước cách A đoạn d1 = 16 cm, cách B đoạn d2 = 13 cm. 
* Hướng dẫn giải:
Phương pháp truyền thống
Phương pháp dùng số phức
Nhấn: MODE 2 (CMPLX)
Ta có : f =10 Hz 
® l = v/f = 0,2/10 = 0,02m = 2cm
+ Phương trình sóng tại M do A truyền tới: 
uAM = 4cos(20pt + p/6-2pd1/l)
uAM = 4cos(20pt + p/6 - 16p)
® uAM = 4cos(20pt + p/6) (mm)
+ Phương trình sóng tại M do A truyền tới:
 uBM =4cos(20pt - p/3 - 2pd2/l)
 uBM = 4cos(20pt - p/3 - 13p)
® uBM = 4cos(20pt - 4p/3) (mm)
+ uM = uAM + uBM 
Áp dụng công thức tính biên độ và pha ban đầu như dao động điều hòa ta được: uM = 8cos(20pt + p/2) (mm) 
Ta có: uM = uAM + uBM và l = 2 cm.
Nhập vào máy: 4 SHIFT (-) ( SHIFT x10x 6 - 2 SHIFT x10x x 16 2 ) + 4 3 SHIFT (-) ( (-) SHIFT x10x 3 - 2 SHIFT x10x x 13 2 ) = SHIFT 23 = 
Máy hiển thị: 
Kết quả: uM = 8cos(20pt + p/2) (mm) 
+ Ví dụ 10: Hai nguồn kết hợp cùng phương A, B cách nhau 10 cm tạo ra sóng ngang lan truyền trên mặt nước có phương trình dao động lần lượt là 
uA= 5cos(20pt + p/10) (mm), uB = 6cos(20pt - p/12) (mm), thời gian t tính bằng giây. Coi biên độ sóng không giảm khi truyền đi, tốc độ truyền sóng trên mặt nước là 0,1 m/s. Xác định vận tốc dao động của điểm M trên mặt nước cách A đoạn d1 = 8,250 cm cách B đoạn d2 = 11,125cm ở thời điểm t = 9,111s. Đơn vị tính của vận tốc là mm/s.
* Hướng dẫn giải:
Phương pháp truyền thống
Phương pháp dùng số phức
Nhấn: MODE 2 (CMPLX)
Ta có: f =10 Hz 
® l = v/f = 0,1/10 = 0,01m = 1cm
+ Phương trình sóng tại M do A truyền tới: uAM = 5cos(20pt + p/10-2pd1/l)
® uAM = 5cos(20pt + p/10 - 2p.8,25) 
® uAM = 5cos(20pt - 82p/5) (mm)
+ Phương trình sóng tại M do A truyền tới: 
uBM = 6cos(20pt - p/12 - 2pd2/l)
® uBM= 6cos(20pt-p/12- 2p.11,125)
® uBM = 6cos(20pt - 67p/3) (mm)
 + Phương trình dao động tổng hợp tại M: uM = uAM + uBM 
Áp dụng công thức tính biên độ và pha ban đầu như dao động điều hòa ta được:
uM=10,94cos(20pt-1,14) (mm) 
 Vận tốc của M: vM=u'M (đạo hàm cấp 1 của uM) 
vM = - 218,8psin(20pt - 1,14) (mm/s)
Thay t = 9,111s vào phương trình vM :
Ta được: vM = 298,27 mm/s 
Kết quả: vM = 298,27 (mm/s) 
Ta có: uM = uAM + uBM và l = 1 cm.
Nhập vào máy: 5 SHIFT (-) ( SHIFT x10x 10 - 2 SHIFT x10x x 8 . 25 ) + 6 SHIFT (-) ( (-) SHIFT x10x 12 - 2 SHIFT x10x x 11 . 125 ) = SHIFT 23 = 
Máy hiển thị: 
Kết quả: 
uM=10,94024022cos(20pt -1,142362667) (mm) 
Tiếp tục nhập máy: MODE 1 SHIFT 10 . 94024022 cos 20 SHIFT x10x ALPHA ) - 1 . 142362667 ) 9 . 111 = 
 Máy hiển thị:
Kết quả: vM = 299,7435183 (mm/s) 
* Nhận xét: khi sử dụng máy tính thì kết quả được tính chính xác và nhanh chóng hơn cách tính truyền thống.
* Lưu ý: để lấy giá trị pha ban đầu j của phương trình sóng tổng hợp tại M ta làm như sau: sau khi ra kết quả 10,94024022Ð-1,142362667 trên máy tính ta nhấn tiếp: SHIFT 21 Ans = 
Khi tính vận tốc vM ta lấy lại j bằng cách nhấn Ans là xong.
2.3.3. Ứng dụng số phức trong giải toán về dòng điện xoay chiều
j 
x
- Cơ sở lí thuyết: Với dòng điện xoay chiều nếu xét giá trị tức thời thì tại một điểm nào đó dòng điện chỉ chạy theo một chiều do đó có thể áp dụng các công thức dòng điện một chiều cho giá trị tức thời.
Đoạn mạch RLC nối tiếp thì
i = iR = iL = iC
u = uR + uC + uL
 = R + (ZL – ZC)i (i ở đây là phần ảo vì ZL, ZC nằm trên trục ảo, còn R nằm trên trục số thực)
2.3.3.1. Tìm biểu thức điện áp xoay chiều trong các mạch điện R, L, C không phân nhánh
Tìm biểu thức điện áp hai đầu mạch khi biết các điện áp thành phần
Ta có: u = uR + uL + uC = uRL + uC = uRC + uL = uR + uLC. Thực hiện tìm biểu thức u giống như tổng hợp các dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số.
Tìm biểu thức điện áp hai đầu mạch khi biết biểu thức dòng điện tức thời i và các giá trị của điện trở, cảm kháng và dung kháng.
- Ta tiến hành như sau: biểu diễn tổng trở Z dưới dạng số phức (dạng đại số) như sau z = (R + r) + (ZL - ZC)i. Trong đó, r là điện trở của cuộn dây.
- Vậy: u = i.z 
- Khi đó, ta thực hiện phép toán nhân hai số phức và nhập vào máy như sau: 
Tương tự, ta có thể tìm biểu thức điện áp của một đoạn chứa một hoặc hai thành phần bất kì trong ba thành phần R, L và C bằng cho giá trị bằng 0 đối với thành phần không có mặt trong đoạn mạch khi ta biểu diễn tổng trở Z dưới dạng số phức. Ví dụ, đoạn mạch gồm R và C thì ta nhập máy như sau:
 hay 
uAM
B
A
R
L,r
uMB
M
C
+ Ví dụ 11: Cho mạch gồm đoạn AM chứa R và C mắc nối tiếp với đoạn MB chứa cuộn cảm L,r. Tìm biểu thức uAB. 
Biết uAM = 100 (V), 
 uMB = 100(V). 
* Hướng dẫn giải:
Phương pháp truyền thống
Phương pháp dùng số phức
Nhấn: MODE 2 (CMPLX)
Tính UAB bằng cách giải hệ 5 phương trình sau:
à U0AB và 
Hoặc dùng giản đồ Fre-nen.
Ta có: uAB = uAM + uMB
Nhập vào máy: 100 2 SHIFT (-) (-) SHIFT x10x 3 + 100 2 SHIFT (-) SHIFT x10x 6 = SHIFT 23 = 
Máy hiển thị:
Kết quả: U0 = 200 V và rad
Vậy: V
Ví dụ 12: Nếu đặt vào hai đầu một mạch điện chứa một điện trở thuần và một tụ điện mắc nối tiếp một điện áp xoay chiều có biểu thức 
u = 100cos(wt -)(V), khi đó điện áp hai đầu điện trở thuần có biểu thức uR=100cos(wt) (V). Biểu thức điện áp giữa hai đầu tụ điện là 
* Hướng dẫn giải:
Phương pháp truyền thống
Phương pháp dùng số phức
Nhấn: MODE 2 (CMPLX)
Tính UAB bằng cách giải hệ 5 phương trình sau:
uC chậm pha hơn i (hay uR) một góc π/2 nên j = - π/2 rad
Hoặc dùng giản đồ Fre-nen.
Ta có: uC = u – uR
Nhập vào máy: 100 2 SHIFT (-) (-) SHIFT x10x 4 - 100 = SHIFT 23 = 
Máy hiển thị:
Kết quả: U0C = 100 V và rad
Vậy V
+ Ví dụ 13: Cho mạch điện gồm R, L, C mắc nối tiếp theo thứ tự R = 100Ω, L = 1000 /π (mH), C = 100/2π (μF). Biểu thức dòng điện tức thời i = 4cos100πt (A). Viết biểu thức điện áp giữa hai đầu mạch điện và biểu thức hai đầu đoạn mạch chứa R và L.
* Hướng dẫn giải:
Phương pháp truyền thống
Phương pháp dùng số phức
Nhấn: MODE 2 ( CMPLX )
ZL = 100 W, ZC = 200 W
Viết biểu thức u: 
Tính U0 và j:
U0= I0.Z = 
Vậy: U0 =V 
 rad
Vậy V
Hoặc dùng giản đồ Fre-nen.
Viết biểu thức uRL: 
Tính U0RL và jRL:
U0RL = I0.ZRL = 
U0RL = V 
 rad
Vậy V
Hoặc dùng giản đồ Fre-nen.
Ta có: u = i.z
Nhập vào máy: 4 x ( 100 + ( 100 - 200 ) ENG ) = SHIFT 23 = 
Máy hiển thị: 
Kết quả: U0 = 565,685 V = V và 
Vậy: 
Ta có: uRL= i.zRL
Nhập vào máy: 4 x ( 100 + 100 ENG ) = SHIFT 23 = 
Máy hiển thị:
Kết quả: 
U0RL = 565,685 V = V 
và rad
Vậy: ; V
2.3.3.2 .Tìm biểu thức u,i trong mạch điện xoay chiều
Tìm biểu thức dòng điện tức thời trong các mạch điện R, L, C không phân nhánh
Ta có: 
Với z = (R + r) + (ZL - ZC)i và các biểu thức điện áp cũng được biểu diễn bằng số phức dưới dạng lượng giác ().
Khi đó, ta nhập máy như sau: 
Lưu ý: tùy từng đoạn mạch có phần tử nào mà ta viết tổng trở đoạn mạch có các phần tử tương ứng, nếu không có thì cho giá trị đó bằng 0 và u nào thì z đó (ví dụ uR thì tương ứng là R).
Ví dụ 14: Đặt một điện áp xoay chiều u = 200cos(100 pt + p/6) (V) vào hai đầu của một cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L = 2/p (H). Biểu thức của cường độ dòng điện chạy trong cuộn dây là 
* Hướng dẫn giải:
Phương ph