SKKN Phương pháp dùng bất đẳng thức giải nhanh bài toán cực trị về điện xoay chiều trong bài tập Vật lí 12

MỤC LỤC
	 	 Trang
1. MỞ ĐẦU
 Lí do chọn đề tài	2
 Mục đích nghiên cứu	3
 Đối tượng nghiên cứu	3
 Phương pháp nghiên cứu.	3
2. NỘI DUNG
 2.1. Cơ sở lí luận	4
 2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm. 4
 2.3. Giải quyết vấn đề... 4
 2.3.1. Bất đẳng thức Cauchy .	4
 2.3.1.1.Nội dung bất đẳng thức Cauchy 	4
 2.3.1.2.Vận dụng bất đẳng thức Cauchy 	4
 2.3.1.3. Phương pháp giải	6
 2.3.2. Bất đẳng Bunhiacopxki	7
 2.3.2.1. Nội dung bất đẳng Bunhiacopxki	7
 2.3.2.2. Vận dụng bất đẳng Bunhiacopxki	7
 2.3.2.3 Phương pháp giải	8
 2.4. Kết quả khảo sát	9
 2.4.1. Đối với học sinh	9
 2.4.1. Đối với giáo viên	10
 2.5. Một vài bài toán ứng dụng bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacopxki:.10 
 2.5.1. Phần điện xoay chiều và dao động điện.10
 2.5.2. Một vài bài toán ứng dụng bất đẳng thức Cauchy trong chương trình 
 THPT:....12
 2.5.3. Một vài bài toán ứng dụng bất đẳng Bunhiacopxki trong chương trình
 THPT	15
 3. KẾT LUẬN	17
 3.1. Kết luận 17
 3.2. Kiến nghị......17
 Tài liệu tham khảo	18
 MỞ ĐẦU
Lý do chọn đề tài
	Vật lí là môn khoa học cơ bản nghiên cứu các quy luật về sự vận động của tự nhiên và nó có mối liên hệ mật thiết với các ngành khoa học khác, đặc biệt là toán học. Các lí thuyết vật lí là bất biến khi biểu diễn dưới dạng các quan hệ toán học và sự xuất hiện của toán học trong vật lí cũng thường phức tạp hơn trong các ngành khoa học khác.
 Trong chương trình trung học phổ thông việc sử dụng toán học vào giải các bài toán vật lí là rất điều không thể thiếu. Nhưng việc lựa chọn phương pháp nào cho phù hợp, ngắn gọn, hiệu quả và dễ hiểu không phải là đơn giản, nhất là đối với bài toán khó như bài toán cực trị. Học sinh thường lúng túng khi gặp các bài toán này vì đây là một dạng bài toán yêu cầu trình độ tư duy cao, học sinh có vốn kiến thức toán học vững chắc hơn thế nữa dạng bài này thường xuất hiện đơn lẻ, không có tính hệ thống, không có một phương pháp giải cụ thể nào. 
 Nhằm giúp cho học sinh có cách nhìn tổng quát về các bài toán cực trị điển hình trong vật lí THPT cũng như có phương pháp lựa chọn, định hướng phương pháp giải, các bước giải cụ thể phù hợp với dạng bài đó nên tôi đã thực hiện đề tài : “Phương pháp dùng bất đẳng thức giải nhanh bài toán cực trị về điện xoay chiều trong bài tập Vật lí 12”. Khi đưa các bài tập này vào hệ thống các bài tập rèn luyện và phát triển tư duy dành cho đối tượng học sinh khá, giỏi tôi nhận thấy học sinh đã có nhiều tiến bộ, hứng thú hơn trong quá trình tìm tòi và khám phá các bài toán cực trị phức tạp khác của vật lí. 
Bài toán cực trị là bài toán khảo sát giá trị cực đại, cực tiểu của một đại lượng vật lí nào đó. Muốn có một phương pháp giải nhanh gọn, dễ hiểu trước hết ta sẽ đi tìm hiểu hệ thống các bài tập điển hình về cực trị trong chương trình vật lí từ lớp 10, 11 đến lớp 12 sử dụng các công thức toán học đặc biệt như bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacopxki, tam thức bậc hai,công thức cộng vận tốc, sử dụng định lí hàm số sin, cosin trong tam giác hoặc khảo sát hàm số. Qua đó rút ra được phương hướng chọn phương pháp giải và các bước để sử dụng phương pháp đó nhanh nhất, hiệu quả nhất. 
Bài toán cực trị là bài toán khảo sát giá trị cực đại, cực tiểu của một đại lượng vật lí nào đó. Muốn có một phương pháp giải nhanh gọn, dễ hiểu trước hết ta sẽ đi tìm hiểu hệ thống các bài tập điển hình về cực trị trong chương trình vật lí từ lớp 10, 11 đến lớp 12 sử dụng các công thức toán học đặc biệt như bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacopxki. Qua đó rút ra được phương hướng chọn phương pháp giải và các bước để sử dụng phương pháp đó nhanh nhất, hiệu quả nhất. 
Mục đích nghiên cứu
Xây dựng phương án dạy học đối với giáo viên.
Xây dựng phương pháp học tập đối với học sinh.
Tầm quan trọng của bài tập vật lý trong quá trình dạy học vật lý.
Vai trò của kiến thức toán học trong quá trình giải các bài tập vật lý.
Đối tượng nghiên cứu
 Đề tài nghiên cứu một vấn đề tương đối khó, đề cập đến các dạng bài tập nâng cao thường gặp trong đề thi TSĐH, CĐ và chủ yếu dành cho học sinh khá giỏi. Với phạm vi một sáng kiến, kinh nghiệm ở trường THPT chúng tôi chỉ đề cập đến một số vấn đề nhỏ của môn vật lý lớp 12:
	- Nghiên cứu về bài toán cực trị trong điện xoay chiều và một số trường hợp vận dụng. 
	- Một số vấn đề cần lưu ý khi giải bài tập điện xoay chiều. 
 Phương pháp nghiên cứu
 - Nghiên cứu lý thuyết.
 - Xác định đối tượng học sinh áp dụng đề tài.
 - Đưa ra một số công thức, ý kiến chưa ghi trong sách giáo khoa nhưng được suy ra khi 
giải một số bài tập điển hình.
 - Kiểm tra sự tiếp thu của học sinh bằng các đề ôn luyện.
 - Đánh giá, đưa ra sự điều chỉnh bổ sung cho phù hợp.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm:
Hiện nay giải bài tập về dòng điện xoay chiều đòi hỏi giáo viên phải cung cấp cho học sinh những phương pháp giải bài tập tối ưu nhất, chính xác nhất và nhanh nhất để tiết kiệm thời gian trong quá trình làm bài tập và bài thi, việc ứng dụng phương pháp bất đẳng thức giúp học sinh vận dụng toán học để giải nhanh bài tập về dòng điện xoay chiều.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Thuận lợi :
Các bài tập áp dụng trong đề tài này có thể có nhiều cách để giải tuy nhiên với mỗi bài tập, học sinh phải phân tích kỹ đề bài để từ đó chọn phương pháp giải phù hợp nhất.
Những bài tập đề nghị nhằm giúp các em học sinh lựa chọn cách giải phù hợp để rèn luyện kỹ năng và phương pháp làm bài.
Khó khăn:
Việc giải bài tập này đòi hỏi học sinh không những có kiến thức vững vàng và nắm được bản chất vật lý mà còn phải có kiến thức cơ bản về toán học tối thiểu như : Tính chất của phân thức đại số, Tính chất của các hàm số lượng giác, Bất đẳng thức Cô-si và bất đẳng thức Bunhiacopxki”
2.3. Giải quyết vấn đề.
 2.3.1 . Bất đẳng thức Cauchy.
 2.3.1.1 Nội dung bất đẳng thức Cauchy.
Thông thường bất đẳng thức Cauchy: a + b ³ 2 Với a,b ³ 0 
 Dấu “=” xảy ra khi a=b 
 Tổng quát: a1 + a2 + ....+ an ³ n Với a1,a2, .....,an ³ 0 
 Dấu “=” xảy ra khi a1=a2= .....=an 
 2.3.1.2. Vận dụng bất đẳng thức Cauchy.
 Bµi 1. Bµi to¸n c¬ b¶n vÒ R biÕn thiªn.
	Cho m¹ch ®iÖn R, L, C nèi tiÕp, R biÕn thiªn. Đặt hai đầu đoạn mạch một hiệu điện thế xoay chiều , trong đó không đổi.
	1- X¸c ®Þnh R ®Ó Pmax. T×m Pmax.
	2- Chøng minh víi P < Pmax cã 2 gi¸ trÞ R1, R2 tho· m·n R1x R2 = (ZL-ZC)2
	 A	B
	 R L C 
	1- X¸c ®Þnh R ®Ó Pmax
 + PMaxkhi mÉu (min) => 
	2. Chøng minh: P R1. R2 = (ZL-ZC)2
	+ Kh¶o s¸t theo R(Èn).
	D = U4 - 4P2 (ZL-ZC)2	Thay U2 = 2(ZL-ZC).Pmax ta ®­îc:
	D = 4P2max (ZL-ZC)2 - 4(ZL-ZC)2P.
	 = 4(ZL-ZC)2 (Pmax- P) > 0
	VËy ph­¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt R1, R2
	=> R1.R2 = (ZL-ZC)2 (§PCM).
 Bài 2. Cuộn cảm có điện trở thuần R0
Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ 
u= 100 cos (100πt+π) , R0 = 2Ω
L = R thay đổi được
a) Xác định R để công suất tiêu thụ trên R đạt cực đại.
b) Xác định R để công suất tiêu thụ trên toàn mạch đạt cực đại . 
Giải: Ta có : ZL = L = 100 , ZC = , Z = 
a) Công suất tiêu thụ trên R là : 
PR = I2R = 
PR đạt max khi y đạt min.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy : 
Dấu ‘=’ xảy ra khi 
Vậy khi thì PR (max) 
b) Công suất tiêu thụ trên toàn mạch là: 
P đạt max khi y đạt min. 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy : 
Dấu ‘=’ xảy ra khi => 
Vậy khi thì P(max). 
 2.3.1.3. Phương pháp giải.
 Bất đẳng thức Cauchy thường được áp dụng đối với các bài toán phần cơ học, điện một chiều và xoay chiều. Với các bài tập vận dụng trên ta rút ra được phương pháp chung để định hướng chọn và các bước giải một bài toán cực trị sử dụng bất đẳng thức Cauchy như sau: 
Bước 1: Đại lượng cần tìm giá trị cực trị có thể biến đổi để đưa về dạng phân số trong đó hoặc tử số (hoặc mẫu số) là một hàm chứa biến, thành phần còn lại là hằng số. 
Bước 2: Xét dấu hiệu nhận biết các điều kiện của hàm chứa biến có thỏa mãn điều kiện sử dụng bất đẳng thức Cauchy hay không. 
Đó là điều kiện các số hạng là không âm a1,a2, .....,an ³ 0 và tích của chúng là không đổi a1.a2......an = const. 
Bước 3: Áp dụng bất đẳng thức để tìm ra giá trị cực đại ,cực tiểu của bài toán. 
Bước 4: Tìm điều kiện để dấu ‘=’ của bất đẳng thức xảy ra. 
 2.3.2. Bất đẳng thức Bunhiacopxki. 
 2.3.2.1. Nội dung bất đẳng thức Bunhiacopxki. 
* Thông thường bất đẳng thức Bunhiacopxki: (ax+by) ≤ (a +b )(x +y ) 
 Dấu “=” xảy ra khi : = 
* Tổng quát: (ax+by+cz) ≤ (a +b+c)(x +y +z) 
 Dấu “=” xảy ra khi : = = 
 2.3.2.2. Vận dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki.
 Bµi 1: Bµi to¸n c¬ b¶n vÒ L biÕn thiªn.
Cho mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp, trong đó L là cuộn dây thuần cảm và có thể thay đổi được. Đặt vào hai đầu mạch một điện áp có giá trị hiệu dụng U và tần số f không đổi. Điều chỉnh giá trị L để tổng điện áp hiệu dụng URC+UL lớn nhất thì tổng đó bằng 2U và khi đó công suất tiêu thụ của mạch là 140W. Hỏi khi điều chỉnh L để công suất tiêu thụ trong mạch lớn nhất thì công suất lớn nhất đó bằng bao nhiêu
 A. 150W B. 160W C. 170W D. 180W
	Giải
Đặt . Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki
Theo giả thiết: ymax=2U=> 
Mặt khác 
Theo giả thiết 
 Bµi 2: Bµi to¸n c¬ b¶n vÒ mạch LC
Hai mạch dao động điện từ LC lí tưởng đang có dao động điện từ tự do với các cường độ dòng điện tức thời trong hai mạch là và được biểu diễn như hình vẽ. Tổng điện tích của hai tụ điện trong hai mạch ở cùng một thời điểm có giá trị lớn nhất bằng.
A. B. C. D. 
Giải
 Chu kì: T=10-3(s) Tần số góc 
 Theo đồ thị và pha ban đầu lần lượt là 
 Điện tích cực đại trên tụ 1,2 lần lượt 
	Điện tích trễ pha hơn dòng điện là (rad) pha điện tích trên tụ 1,2 :
	Biểu thức điện tích trên tụ 1,2:
 Tổng điện tích của hai tụ ở thời điểm t có giá trị lớn nhất : 
 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki
 Dấu “=” khi q đạt giá trị max
 Vậy 
 2.3.2.3. Phương pháp giải 
 Bất đẳng thức Bunhiacopxki rất ít được sử dụng trong các bài tập vật lí. Ở các bài toán trên bằng phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta thấy bài toán được giải một cách nhanh gọn, dễ hiểu. Đối tượng áp dụng ở đây chủ yếu là các bài toán cơ học. Điều kiện để áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki không được đưa ra rõ ràng như ở bất đẳng thức Cauchy nhưng ta thấy dấu hiệu để nhận biết có thể sử dụng bất đẳng thức này là tích (a +b ).(x +y ) phải bằng hằng số. Cụ thể các trường hợp trên ta thấy xuất hiện . 
Các bước giải bài toán loại này: 
Bước 1: Biến đổi đưa đại lượng cần tìm giá trị cực trị về dạng phân số trong đó hoặc tử số (hoặc mẫu số) là một hàm chứa biến, thành phần còn lại là hằng số. 
Bước 2: Xét hàm chứa biến sao cho tích (a +b ).(x +y )=const, có xuất hiện hoặc (12 + 12). 
Bước 3: Áp dụng bất đẳng thức để tìm ra giá trị cực đại, cực tiểu của bài toán. 
Bước 4: Tìm điều kiện để dấu ‘=’ của bất đẳng thức xảy ra. 
 4. Kết quả khảo sát:
 4. 1. Đối với học sinh:
 Khảo sát đánh giá hai nhóm học sinh mỗi nhóm 20 học sinh: của hai lớp 12B1, 12B2
 + Trước khi đưa ra phương pháp hầu như các em chưa định hình được cách giải
 và hướng đi những bài toán này do đó kết quả đạt được rất thấp.
 Lớp 12B2
Điểm
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Học sinh
0
13
5
2
0
0
0
0
0
0
%
0
65%
25%
10%
0
0
0
0
0
0
 Lớp 12B1
Điểm
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Học sinh
0
5
11
2
2
0
0
0
0
0
%
0
25%
55%
10%
10%
0
0
0
0
0
 + Sau khi học sinh được tiếp cận với phương pháp vận dụng bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacopxki thì cách giải, hướng đi rõ ràng, thuận tiện, nhanh hơn và cho kết quả tốt.
 Lớp 12B2
Điểm
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Học sinh
0
0
0
2
3
4
7
3
1
0
%
0
0
0
10%
15%
20%
35%
15%
5%
0
 Lớp 12B1
Điểm
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Học sinh
0
0
0
0
2
5
4
6
3
0
%
0
0
0
0
10%
25%
20%
30%
15%
0
 4. 2. Đối với giáo viên:
 Đề tài sáng kiến kinh nghiệm này cũng giúp giáo viên hiểu sâu hơn về những bài toán hàm cực trị mà sử dụng bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacopxki trong điện xoay chiều từ đó mở rộng ra các bài toán khác trong quá trình ôn luyện học sinh thi Tốt nghiệp và Đại học – Cao đẳng cũng như các bài toán Vật lý trong chương trình THPT.
 5. Một vài bài toán ứng dụng bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacopxki:
 5.1. Phần điện xoay chiều, dao động điện.
 Câu 1: Cho mạch RLC mắc nối tiếp, trong cuộn dây thuần cảm có L thay đổi được. Đặt vào hai đầu mạch một điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng U và tần số f không đổi. Điều chỉnh giá trị L để tổng điện áp hiệu dụng URC+UL lớn nhất thì tổng đó bằng 2U và khi đó công suất tiêu thụ của mạch là P. Điều chỉnh Lđể công suất tiêu thụ trong mạch lớn nhất Pmax=120W. Giá trị công suất P là?
A.100W B.90W C.110W D.80W
Câu 2: Đặt điện áp xoay chiều u=U0 cost(V) vào hai đầu đoạn mạch mắc nối tiếp gồm biến trở R tụ điện có điện dung C=F và cuộn cảm thuần có độ tự cảm L=H. Thay đổi R để điện áp hiệu dụng hai đầu UR+UL đạt giá trị cực đại và giá trị đó là 180V. Tính giá trị hiêu dụng hai đầu đoạn mạch?
 A.100V B.90V C.110V D. 90 V
Câu 3: Đặt điện áp xoay chiều u=Ucos t(V) vào hai đầu đoạn mạch mắc nối tiếp gồm biến trở R tụ điện có điện dung C và cuộn cảm thuần có độ tự cảm. Thay đổi R để điện áp hiệu dụng hai đầu UR+UC đ ạt giá trị cực đại và giá trị đó là U, khi đó UC=100V. Tính giá trị hiêu dụng hai đầu đoạn mạch?
 A.100V B.90V C.110V D. 90 V
Câu 4: Hai mạch LC lí tưởng có dao động điện từ tự do với điện tích tức thời trong hai mạch là q1 và q2 biến thiên như hình vẽ. Biết thờigian ngắn nhất từ lúc q1 cực đến khi giá trị tức hời của q1 bằng giá trị cực đại của q2 là s. Tổng giá trị cực đại cường độ dòng điện của hai mạch dao động có giá trị gần với:
t(10-2s)
q(10-7C)
- 
0,25
0,5
q1
q2
 A.94.10-8A B.32.10-8A C.70.10-8A D.89.10-8A 
Câu 5: Một đoạn mạch nối tiếp gồm cuộn dây có điện trở thuần r = 100 và độ tự cảm L = 0,191 H, tụ điện có điện dung C = 1/4p(mF), điện trở R có giá trị thay đổi được. Điện áp đặt vào hai đầu đoạn mạch u = 200cos(100pt) V. Thay đổi giá trị của R để công suất tiêu thụ trong mạch đạt cực đại. Xác định giá trị cực đại của công suất trong mạch.
A. 200 W	B. 228W	C. 100W	D. 50W
Câu 6. Mạch điện xoay chiều gồm điện trở thuần R thay đổi được, cuộn dây có điện trở thuần r = 20Ω và độ tự cảm L = 2H, tụ điện có điện dung C = 100μF mắc nối tiếp với nhau. Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều Khi R = R0 thì công suất tiêu thụ trên toàn mạch đạt cực đại. Khi đó công suất tiêu thụ trên cuộn dây là:
 A. Pr = 108W	B. Pr = 88,8W	C. Pr = 28,8W	D. Pr = 12,8W
Câu 7: Mạch điện AB gồm đoạn AM và đoạn MB . Điện áp ở hai đầu mạch ổn định u = 150cos100pt (V). Điện áp ở hai đầu đoạn AM sớm pha hơn cường độ dòng điện một góc 300. Đoạn MB chỉ có một tụ điện có điện dung C thay đổi được. Chỉnh C để tổng điện áp hiệu dụng UAM + UMB có giá trị lớn nhất. Khi đó điện áp hiệu dụng 
 ở hai đầu tụ điện là:
 A. 75 V. 	 B. 200V. C. 150 V. D. 130V.
Câu 8: Cho mạch điện RLC nối tiếp. Cuộn dây không thuần cảm có L = 1,4/(H) và r = 30; tụ có C = 31,8F. R là biến trở. Điện áp hai đầu đoạn mạch có biểu thức: u = 100cos(100t)(V). Giá trị nào của R để công suất trên biến trở R là cực đại? Giá trị cực đại đó bằng bao nhiêu? Chọn kết quả đúng: 
 A. R = 50; PRmax = 62,5W.	B. R = 25; PRmax = 65,2W.	
 C. R = 75; PRmax = 45,5W.	D. R = 50; PRmax = 625W.	
Câu 9: Một đoạn mạch nối tiếp gồm cuộn dây có điện trở thuần r = 100 và độ tự cảm L = 0,191 H, tụ điện có điện dung C = 1/4p(mF), điện trở R có giá trị thay đổi được. Điện áp đặt vào hai đầu đoạn mạch u = 200cos(100pt) V. Thay đổi giá trị của R để công suất tiêu thụ trong mạch đạt cực đại. Xác định giá trị cực đại của công suất trong mạch.
A. 200 W	 B. 228W	C. 100W	D. 50W
Câu 10: Mạch điện xoay chiều gồm biến trở mắc nối tiếp với cuộn dây thuần cảm và tụ điện. Mắc vào mạch điện này một hiệu điện thế xoay chiều ổn định . Người ta điều chỉnh giá trị của biến trở đến khi công suất của mạch điện là (W) thì khi đó dòng điện trễ pha so với hiệu điện thế 2 đầu đoạn mạch góc .Tiếp tục điều chỉnh giá trị của biến trở tới khi công suât mạch đạt giá trị cực đại. Giá trị cực đại đó bằng : 
 A.250W	 B.300W	 C. W	 D.200W
 5.2. Một vài bài toán ứng dụng bất đẳng thức Cauchy trong chương trình THPT:
	Bài 1. Một vật khối lượng m1 chuyển động với vận tốc đến va chạm với vật m2 đang đứng yên. Sau va chạm vật m1 chuyển động với vận tốc ,vật m2 chuyển động với vận tốc . Hãy xác định tỉ số để góc lệch α giữa và đạt giá trị cực đại. 
a
Giải: Do hệ kín và va chạm là đàn hồi nên: 
Áp dụng định luật bảo toàn động lượng ta có : 
 (1)
Động năng hệ vật bảo toàn : 
 (2) 
Gọi . 
Từ (1) và (2) ta có: (3)
 (4)
 Từ (3) và (4) suy ra: 
Để Max thì (cos )min .Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho vế trái (5): 
 => (cos )min khi:=> với m1>m2 
Vậy với m1>m2 thì góc lệch α đạt giá trị cực đại . 
Bài 2. Một mạch điện được mắc R1 nối tiếp (đèn Đ mắc song song R2 ). Bóng đèn ghi 6V-3W, R1 =4Ω, U=10V, R2 là biến trở. 
a) R2 bằng bao nhiêu để công suất tiêu thụ trên R2 đạt giá trị cực đại 
R1
Đ
R2
I
I2
Id
b) R2 bằng bao nhiêu để công suất tiêu thụ trên đoạn mạch song song đạt giá trị cực đại. 
Giải: 
a) Điện trở của bóng đèn: R = = 12 Ω
 Công suất tiêu thụ của R2 là: P = I . R 
 Mà I = I- I = => 
=> P2 đạt max khi đạt min. 
Áp dụng bất đẳng thức cauchy ta có : 
Dấu ‘=’ xảy ra khi 
Vậy khi R2 = 3 Ω thì P2 đạt giá trị cực đại. 
b) Công suất tiêu thụ của đoạn mạch song song là : 
P= I2. Rđ2 mà => 
Với 
=> P đạt max khi đạt min 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có : 
Dấu ‘=’ xảy ra khi Rd2=4 => R2 = 1,5Ω
Vậy khi R2 = 1,5Ω thì công suất đoạn mạch song song đạt giá trị cực đại. 
Bài 3. Vòng dây mảnh bán kính R tích điện đều mang điện tích q>0 đặt trong không khí. Tính cường độ điện trường tại M trên trục vòng dây cách O đoạn h. Xác định h để E đạt giá trị cực đại và tính giá trị cực đại đó. 
R
O
M
∆1
∆2
∆
h α
Giải : 
 Xét hai điện tích điểm ∆q nằm 
ở vị trí đối xứng qua tâm O.
Cường độ điện trường do chúng
gây ra tại M là : 
Mà ∆E1=∆E2 = suy ra: 
 nằm trên OM, hướng ra xa O
Có độ lớn : ∆E =2∆E1 cosα = 2 = 
- Cường độ điện trường tổng hợp gây ra tại M là : 
Vậy nằm trên OM, hướng ra xa O. 
Độ lớn: 
- Tìm h để EM đạt cực đại : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có : 
Suy ra : 
Vậy h=thì EM =. 
 5.3. Một vài bài toán ứng dụng bất đẳng Bunhiacopxki trong chương trình THPT
 Bài 1. Người ta quấn một sợi dây không giãn và khối lượng không đáng kể quanh một khối trụ khối lượng m. Hỏi phải kéo dây bằng một lực Fmin, dưới góc α bằng bao nhiêu để khối trụ quay tại chỗ. Cho biết hệ số ma sát giữa khối trụ và sàn là k. 
Giải: Các lực tác dụng được biểu trên hình 
Do khối trụ không chuyển động tịnh tiến nên 
a
·
O
y
x
tổng hình chiếu các lực trên phương 0x, 0y bằng 0
Tức là: 
 Trong đó : Fms =k.N 
Từ hệ phương trình trên ta có : 
=> F đạt min khi y đạt max 
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có : 
Dấu ‘=’ xảy ra khi 
Vậy khi 
Bài 2. Kéo một vật lên đều trên mặt phẳng nghiêng có góc nghiêng α, hệ số ma sát k. Hỏi góc β giữa vec tơ lực kéo và mặt nghiêng là bao nhiêu để lực kéo là cực tiểu. 
y
x
O
Giải: Áp dụng định luật II Newton ta có : 
 (1)
Chiếu (1) lên Ox: (2)
Chiếu (1) lên Oy: (3)
Từ (2) và (3) ta có : 
Nhận xét: Trong biểu thức của F : tử số là không đổi, mẫu số thay đổi. 
F đạt min khi mẫu số đạt max. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có : 
Dấu ‘=’ xảy ra khi 
Khi đó 
Vậy: Để vật chuyển động đều với lực kéo cực tiểu thì góc hợp bởi vec tơ lực kéo và mặt nghiêng thỏa mãn: 
Bài 3. Hai ôtô cùng chuyển động từ A và B hướng tới điểm O trên hai đường thẳng hợp nhau một góc α=300 với vận tốc v2 = .Hãy xác định khoảng cách nhỏ nhất giữa hai ôtô. Cho biết lúc đầu chúng cách O những khoảng cách d1=60km, d2=40km. 
·
A
A'
B'
B
g
α
O
β
Giải : Áp dụng hệ thức trong tam giác ta có: 
Lại có: => 
 Theo bài ra ta có: b+=1500 
 => sin β= cos g+ sing
=> (1)
Từ (1): dmin khi ymax
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: y £ 
ymax = 2 và . 
Vậy dmin=»4,64 km. 
 3. KẾT LUẬN
 3.1 Kết luận
 Xuất phát từ kinh nghiệm của bản thân, bản thân tôi đúc rút thành kinh nghiệm mong đem lại cho các em học