SKKN Hướng dẫn học sinh lớp 12 ôn tập dạng đồ thị trong các bài toán dao động và sóng cơ học

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN 
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
HƯỚNH DẪN HỌC SINH LỚP 12 ÔN TẬP DẠNG
ĐỒ THỊ TRONG CÁC BÀI TOÁN DAO ĐỘNG 
VÀ SÓNG CƠ HỌC
 Người thực hiện: Đỗ Việt Tiến 
 Chức vụ : Giáo viên 
 Đơn vị công tác: Trường THPT Chu Văn An
 SKKN thuộc lĩnh vực: Vật lý 
THANH HÓA, NĂM 2019
MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU 
1.1. Lí do chọn đề tài	
Bắt đầu từ năm 2007, Bộ Giáo dục và Đào tạo chính thức áp dụng hình thức thi trắc nghiệm khách quan đối với một số môn trong kì thi tốt nghiệp THPT và tuyển sinh vào cao đẳng và đại học, trong đó có môn vật lí. Với hình thức thì này, đòi hỏi giáo viên phải thay đổi cách dạy và học sinh cũng phải thay đổi cách học cho phù hợp. Với cách thi này, không yêu cầu học sinh phải trình bày bài giải một cách logic chặt chẽ, đúng bản chất vật lí mà chỉ yêu cầu HS phải tìm ra được những phương pháp giải bài tập sao cho nhanh, chính xác đáp án nhất. Vì vậy, để đạt điểm cao trong các kì thi đó thì thường giáo viên sẽ rèn luyện cho HS những kĩ năng đặc trưng riêng của thi trắc nghiệm như dùng phương pháp loại trừ, các chiêu thức tính nhanh....
Trong các đề luyện thi đại học cũng như trong các đề thi chính thức tuyển sinh vào đại học và cao đẳng các năm vừa qua, mà đặc biệt là từ năm 2010 trở lại đây, đề thi có rất nhiều câu khó và “độc”. Đặc biệt là các bài toán về đồ thị trong dao động và sóng cơ học, dao động và sóng cơ học là một trong những nội dung khó của chương vật lí lớp 12. Cái khó khi nghiên cứu về dao động sóng cơ học này là những vấn đề liên quan đến đồ thị trong toán. Việc này cần đến kiến thức toán THPT. Chính vì vậy khi nói về đồ thị trong dao động và sóng cơ học. SGK vật lí cả cơ bản và nâng cao đã đề cập đến một cách hết sức sơ lược, chủ yếu cho học sinh nắm được khái niệm, quy luật dao động và sóng cơ học mà không bổ sung kiến thức về đồ thị cho học sinh. Vì vậy tôi mạnh dạn trình bày đề tài “Đồ thị trong các bài toán dao động và sóng cơ học” thông qua đề tài giúp các em HS có một cách hiểu cụ thể, hiểu sâu bản chất của vấn đề từ đó có thể giải quyết tốt các bài toán về dao động và sóng cơ học.
1.2. Mục đích nghiên cứu
	Từ thực trạng công tác giảng dạy Vật Lý những năm qua tôi tìm ra một số phương pháp nhận biết và giải nhanh một số bài tập vật lý “Đồ thị trong các bài toán dao động và sóng cơ học” . Xây dựng một hệ thống bài toán tiêu biểu,nhằm giúp học sinh hiểu rõ bản chất, nắm chắc kiến thức, từ đó đúc rút kinh nghiệm đẻ nâng cao hiệu quả trong công tác giảng dạy và ôn tập cho học sinh lớp 12
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Hướng dẫn học sinh cách đọc đồ thị, nhận biết các thông số có trong bài toán của học sinh lớp 12 Trường THPT Chu Văn An
1.4. Phương pháp nghiên cứu
	Nhóm phương pháp xây dựng cơ sở lí thuyết : Dựa trên các tài liệu nghiên cứu về phương pháp dạy học, rèn luyện kỹ năng đồ thị cho học sinh
	Nhóm các phương pháp điều tra thực tiễn : Tiến hành điều tra các nhóm học sinh khác nhau đẻ tim ra những điểm cần bổ xung vè kiến thức cũng như vè kỹ năng
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
	A. Cơ sở lý thuyết:
	1. Đồ thị hàm số bậc nhất: y=ax+b (a,b là những hằng số, a≠0):
	- Hàm số bậc nhất có tập xác định trên R.
	- Khi a>0 hàm đồng biến.
	- Khi a<0 hàm nghịch biến.
	- Đồ thị là đường thẳng , cắt trục tung tại B(0;b) và cắt trục hoành tại A(
	2. Đồ thị của hàm số bậc hai:
	2.1. Nhắc lại về đồ thị hàm số y=ax2 (a≠0)
	Ta đã biết, đồ thị hàm số y=ax2 (a≠0) là Parabol (P0) có các đặc điểm sau:
Đỉnh của parabol (P0) là gốc toạ độ O.
Parabol (P0) có trục đối xứng là trục tung.
Parabol (P0) hướng bề lõm lên trên khi a>0 và xuống dưới khi a<0.
	2.2. Đồ thị hàm số y=ax2+bx+c (a≠0):
	Ta đã biết: ax2+bx+c==
Đồ thị hàm số y=ax2+bx+c (a≠0) là một Parabol có đỉnh , nhận đường thẳng làm trục đối xứng và hướng bề lõm lên trên khi a>0 và xuống dưới khi a<0.
Khi a>0 hàm số nghịch biến trên khoảng, đồng biến trên khoảng và có giá trị nhỏ nhất là khi .
Khi a<0 hàm số đồng biến trên khoảng, nghịch biến trên khoảng và có giá trị lớn nhất là khi .
 Đồ thị hàm sin, cos.
3.1. Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y=sinx.
Do hàm số y=sinx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π nên ta chỉ cần khảo sát hàm số đó trên một đoạn có độ dài 2π, chẳng hạn trên đoạn [-π : π].
Chiều biến thiên xem hình vẽ 1, 2, 3)
Cho x=(OA, OM) tăng từ -π đến π, tức là cho M chạy trên đường tròn lượng giác theo chiều dương một vòng xuất phát từ A’ và quan sát sự thay đổi của điểm K (K là hình chiếu của M trên trục sin, OK=sinx), ta thấy:
Khi x tăng từ -π đến thì điểm M chạy trên vòng tròn lượng giác theo chiều từ A’ đến B’ và điểm K chạy dọc trục sin từ O đến B’. Do đó OK, tức là sinx, giảm từ 0 đến -1 (hình 1).
Khi x tăng từ đến thì điểm M chạy trên vòng tròn lượng giác theo chiều từ B’ đến B và điểm K chạy dọc trục sin từ B’ đến B. Do đó OK, tức là sinx, tăng từ -1 đến 1 (hình 2).
Khi x tăng từ đến π thì điểm M chạy trên vòng tròn lượng giác theo chiều từ B đến A’ và điểm K chạy dọc trục sin từ B đến O. Do đó OK, tức là sinx, giảm từ 1 đến 0 (hình 3).
x
B
A
O
A’
M
K
B’
+
x
B
A
O
A’
M
K
B’
+
x
B
A
O
A’
M
K
B’
+
Hình 1
Hình 2
Hình3
y
x
1
-1
O
x
2π
-2π
-π
π
X+2π
 3.2. Sự biến thiên và đồ thị của hàm số y=cosx.
y
x
1
-1
O
2π
3π/2
 Ta có thể tiến hành khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y=cosx tương tự như đã làm đối với hàm số y=sinx trên đây. Tuy nhiên, ta nhận thấy cosx với mọi x, nên bằng cách tịnh tiến đồ thị y=sinx sang trái một đoạn có độ dài , ta được đồ thị hàm số y=cosx (nó cũng được gọi là đường cong hình sin).
B. Các dạng bài tập thường gặp:
1. Dạng 1: Đồ thị là đường thẳng
Phương pháp giải: 
- Từ đồ thị xác định được tung độ, hoành độ của các điểm.
- Tìm mối liên hệ của các đại lượng theo đồ thị.
- Áp dụng các kiến thức về vật lý có liên quan đến đại lượng trong đồ thị để giải bài.
Một số bài toán ví dụ:
Ví dụ 1: Hai con lắc dao động trên hai quỹ đạo song song sát nhau với cùng biên độ và cùng vị trí cân bằng, đồ thị biểu diễn gia tốc theo li độ có hình dạng như hình. 
 Tìm thương số tốc độ cực đại của hai con lắc v1max /v2max là. 
HD: Phương trình a phụ thuộc x có dạng và 
Mặt khác 
Ví dụ 2: Một vật có khối lượng 0,01 kg dao động điều hoà quanh vị trí cân bằng x = 0, có đồ thị sự phụ thuộc hợp lực tác dụng lên vật vào li độ như hình vẽ. Chu kì dao động là
HD: 
Thay x = 0,2 m, F = -0,8 N và m = 0,01 kg ta được: .
Ví dụ 3: Hai con lắc lò xo gồm vật nặng có cùng khối lượng m dao dộng điều hòa cùng phương, quanh vị trí cân bằng nằm trên một đường thẳng vuông góc với phương dao động của hai con lắc. Đồ thị lực phục hồi F phụ thuộc vào li độ x của hai con lắc được biểu diễn như hình bên (đường (1) nét liền mờ và đường (2) nét liền đậm). Chọn mốc thế năng tại vị trí cân bằng. Nếu cơ năng của một con lắc là W1 thì cơ năng của con lắc còn lại có thể là:
HD: Từ đồ thị ta nhận thấy hình chiếu của hai đồ thị lên trục OF trùng nhau, tức là độ lớn lực phục hồi cực đại của hai dao động bằng nhau 
Cũng từ đồ thị ta thấy độ dài hình chiếu của đường (1) lên trục Ox dài gấp 3 lần độ dài hình chiếu của đường (2), vậy biên độ của con lắc biểu thị cho đường (1) gấp 3 lần biên độ con lắc biểu thị cho đường (2). Tới đây ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Đường (1) biểu thị cho con lắc có W1, khi đó con lắc còn lại có cơ năng W2
Lập tỉ số: 
Trường hợp 2: Đường (2) biểu thị cho con lắc có cơ năng W1, tương tự ta có được: W2 =3W1
Bài tập vận dụng:
Bài 1: Kết quả thực nghiệm được cho trên hình vẽ biểu diễn sự phụ thuộc của bình phương chu kỳ dao động T2 của con lắc đơn theo chiều dài của nó. Kết luận nào sau đây là không chính xác. 
A. Chu kỳ dao động điều hòa tỉ lệ thuận với căn bậc hai của chiều dài của con lắc đơn.
B. Gia tốc trọng trường nơi làm thí nghiệm là 9,89m/s2
C. Bình phương chu kỳ dao động điều hòa của con lắc đơn tỉ lệ thuận với chiều dài của nó.
D. Tỉ số của bình phương chu kỳ dao động với chiều dài con lắc đơn là một số không đổi.
Fđh(N)
4
–2
0
 4
 6
10
188
(cm)
2
Bài 2: Một con lắc lò xo đang dao động điều hòa mà lực đàn hồi và chiều dài của lò xo có mối liên hệ được cho bởi đồ thị hình vẽ. Cho g = 10m/s2. Biên độ và chu kỳ dao động của con lắc là:
	A. A = 6cm; T = 0,28s.	B. A = 4cm; T = 0,28s.	
 C. A = 8cm; T = 0,56s.	 D. A = 6cm; T = 0,56s
2. Dạng 2: Đồ thị đường sin thời gian tính các đại lượng và viết phương trình dao động điều hoà các đại lượng.
 Phương pháp giải: 
- Xác định biên độ: .
- Xác định chu kì: Chu kì bằng khoảng thời gian hai lần liên tiếp đồ thị lặp lại. Dựa vào khoảng thời gian đặc biệt trong dao động điều hòa để xác định chu kì.
- Xác định φ: Dựa vào đồ thị xác định tung độ điểm cắt tại t=o và kết hợp xem đồ thị hướng lên hay hướng xuống, vẽ vòng tròn lượng giác để xác định φ hoặc sử dụng công thức:
 (nếu tại điểm cắt tung độ xc đang đi lên.
 (nếu tại điểm cắt tung độ xc đang đi xuống.
 Một số bài toán ví dụ:
Ví dụ 1: Đồ thị phụ thuộc thời gian của điện áp xoay chiều cho hình vẽ. Đặt điện áp đó vào hai đầu đoạn mạch gồm một cuộn dây thuần cảm L, điện trở thuần R, tụ điện C = 1/(2π) mF mắc nối tiếp. Biết hiệu điện thế hiệu dụng hai đầu cuộn dây L và hai đầu tụ điện bằng nhau và bằng một nửa trên điện trở R. Công suất tiêu thụ trên đoạn mạch đó là
HD: 	Từ đồ thị nhận thấy: T/2 = 12,5 ms – 2,5 ms Þ T = 20 ms Þ ω = 2π/T = 100π (rad/s).
T.gian đi từ u = 120V đến u = 0 là 2,5ms = T/8 Þ 120 = U0/ Þ U0 = 120 V Þ U=120 V.
Vì UL = UC = 0,5UR nên
.
Ví dụ 2: Điểm sáng A đặt trên trục chính của một thấu kính, cách thấu kính 27 cm. Chọn trục tọa độ Ox vuông góc với trục chính, gốc O nằm trên trục chính của thấu kính. Cho A dao động điều 
hòa theo phương của trục Ox. Biết phương trình dao động của A và ảnh A’ của nó qua thấu kính được biểu diễn như hình vẽ. Tính tiêu cự của thấu kính.
HD: Từ đồ thị ta nhận thấy:
*Vật thật cho ảnh ngược chiều với vật nên ảnh phải là ảnh thật và đây là thấu kính hội tụ.
*Ảnh thật nhỏ bằng nửa vật nên độ phóng đại ảnh: .
Ví dụ 3: Hai chất điểm dao động điều hòa cùng tần số trên hai trục tọa độ Ox và Oy vuông góc với nhau (O là vị trí cân bằng của cả hai chất điểm). Biết đồ thị li độ dao động của hai chất điểm theo thời gian lần lượt là x và y như (hình vẽ). 
Khoảng cách lớn nhất giữa hai chất điểm khi dao động là:
HD: Từ đồ thị viết được phương trình dao động: 	 
Gọi B là khoảng cách giữa hai chất điểm thì 
Ví dụ 4: Một con lắc lò xo, vật nhỏ dao động có khối lượng m = 100 g dao động điều hòa theo phương trùng với trục của lò xo. Biết đồ thị phụ thuộc thời gian vận tốc của vật như hình vẽ. Độ lớn lực kéo về tại thời điểm 11/3 s là bao nhiêu?
HD: Biên độ: vmax = 10π cm/s.
Vì thời gian đi từ vmax /2 đến vmax là T/6 và thời gian đi từ vmax về 0 là T/4 nên: 
Đồ thị cắt trục tung ở vc = vmax/2 và tại đó đồ thị đang đi lên nên: 
Vì v sớm pha hơn x là π/2 nên: 
Lực kéo về: 
Khi t = 11/3 s thì 
Ví dụ 5: Một vật có khối lượng 400 g dao động điều hoà có đồ thị thế năng như hình vẽ. Tại thời điểm t = 0 vật đang chuyển động theo chiều dương, lấy p = 10. Phương trình dao động của vật là
HD: Từ đồ thị nhận thấy: *W = Wtmax = 20.10-3 (J);
*Thời gian ngắn nhất từ Wt = 15 mJ = 3Wtmax/4 đến Wt = 0 chính là thời gian ngắn nhất từ x = ±A/2 đến x = 0 và bằng T/6 = 1/6 s, suy ra: T = 1 s và w = 2p/T = 2p (rad/s) 
 ; 
*Lúc t = 0, x = -A/2 và và đang chuyển động theo chiều dương nên phương trình dao động có dạng: .
 Bài tập vận dụng
Bài 1. Hình dưới biểu diễn sự phụ thuộc của vận tốc của vật dao động điều hòa theo thời gian t. Phương trình li độ dao động điều hòa này là: 
A. x = 4cos(10πt – π/3) cm. B. x = 4cos(5πt - π/6) cm.
C. x = 4cos(5πt + π/6) cm. D. x = 4cos(10πt + π/3) cm.
 Bài 2. (ĐH 2017): Một vật dao động điều hòa trên trục Ox. Hình bên là đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của li độ x vào thời gian t . Tần số góc của dao động là 
A. l0 rad/s.	B. 10π rad/s.	
C. 5π rad/s.	D. 5 rad/s.
 Bài 3. (ĐH 2017): Một con lắc lò xo treo vào một điểm cố định ở nơi có gia tốc trọng trường (m/s2). Cho con lắc dao động điều hòa theo phương thẳng đứng. Hình bên là đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của thế năng đàn hồi Wđh của lò xo vào thời gian t. Khối lượng của con lắc gần nhất giá trị nào sau đây?
A. 0,65 kg. 	B. 0,35 kg. 
C. 0,55 kg. 	D. 0,45 kg.
 Bài 4. (ĐH 2017): Hình bên là đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của vận tốc v theo thời gian t của một vật dao động điều hòa. Phương trình dao động của vật là
A. x = cos(t + ) (cm). 	B. x = cos(t + ) (cm).	
C. x = cos(t - ) (cm). 	D. x = cos(t - ) (cm).
 Bài 5. (ĐH 2017): Một con lắc lò xo đang dao động điều hòa. Hình bên là đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của động năng Wđ của con lắc theo thời gian t. Hiệu t2 – t1 có giá trị gần nhất với giá trị nào sau đây?
A. 0,27 s.	B. 0,24 s.	 C. 0,22 s.	 D. 0,20 s.
3. Dạng 3: Đồ thị hình sin thời gian nhiều đại lượng biến thiên điều hòa.
3.1. Phương pháp giải: 
 Trước tiên từ đồ thị viết biểu thức phụ thuộc thời gian của các đại lượng, sau đó tùy vào yêu cầu bài toán mà có thể là tổng hợp dao động, hoặc tương quan về pha hoặc tìm các đại lượng thứ 3.
3.2. Một số bài toán ví dụ
Ví dụ 1: Đồ thị li độ theo thời gian của chất điểm 1 (đường 1) và chất điểm 2 (đường 2) như hình vẽ, gia tốc độ cực đại của chất điểm 1 là 16π2 (cm/s). Không kể thời điểm t = 0, thời điểm hai chất điểm có cùng li độ lần thứ 5 là
A. 4,0 s.	 B. 3,25 s. C. 3,75 s.	D. 3,5 s.
HD: Biên độ: A1 = A2 = 6 cm; Thời điểm gặp nhau lần thứ 5 nằm giữa hai thời điểm ta = 9T1/4 = 3,375 s và tb = 5T2/4 = 3,75 s Þ Loại trừ 4 phương án Þ Chọn D.
Ví dụ 2: Một vật thực hiện đồng thời 2 dao động điều hoà cùng phương, li độ x1 và x2 phụ thuộc thời gian như hình vẽ. Phương trình dao động tổng hợp là 
HD: Từ đồ thị viết được:
Ví dụ 3: Một chất điểm thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương cùng chu kì T mà đồ thị x1 và x2 phụ thuộc thời gian biểu diễn trên hình vẽ. Biết x2 = v1T, tốc độ cực đại của chất điểm là 53,4 cm/s. Giá trị T gần giá trị nào nhất 
 A. 2,56 s. B. 2,99 s. C. 2,75 s. D. 2,64 s.
HD: Dễ thấy x2 sớm pha hơn x1 là p/2.
Chọn lại mốc thời gian là lúc t = 2,5 s thì 
 Thay số: 
Tại thời điểm t = -t1 thì x1 = x2 = -3,95 cm; 
Þ Chọn B.
Ví dụ 4: Cho ba dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có phương trình lần lượt là x1 = 2acosωt (cm); x2 = A2cos(ωt + φ2) (cm) và x3 = acos(ωt + π) (cm). Gọi x12 = x1 + x2 và x23 = x2 + x3. Biết đồ thị sự phụ thuộc x12 và x23 theo thời gian (hình vẽ). Tính φ2. 
HD: Từ đồ thị: T/4 = 0,5 s Þ T = 2 s Þ ω = 2π/T = π (rad/s).
Tại thời điểm t = 0,5 s, đồ thị x12 ở vị trí nửa biên âm đi xuống và 
đồ thị x23 ở vị trí biên âm nên: 
Þ
Mặt khác: x1 – x3 = 2acosωt - acos(ωt + π) = 3acosωt nên 
Tương tự: 
 .
Ví dụ 5: Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số, đồ thị phụ thuộc li độ vào thời gian biểu diễn như trên hình vẽ. Phương trình dao động tổng hợp của 2 dao động là 
HD: Biên độ: A1 = A2 = 6 cm. Chu kì: T = 0,2s 
 Þ ω = 2π/T = 10π (rad/s). 
Đường x2 cắt trục tung tại x2 = 0 và đang có xu thế âm (đang đi theo chiều âm) nên: x2 = 6cos(10pt + π/2) (cm).
Đường x1 cắt trục tung tại điểm có tung độ chưa xác định được nên để viết được biểu thức của x2 ta phải căn cứ vào một điểm cắt của hai đồ thị. Tại điểm cắt x = 3cm = A/2 thì đường x1 đi theo chiều dương (pha x1 là -π/3) còn đường x2 đi theo chiều âm (pha x1 là +π/3) Þ x2 sớm pha hơn x1 là 2π/3
 Þ x1 =6cos(10pt + π/2 - 2π/3) (cm).
 Þ x=6cos(10πt + π/6) V 
 3.3 Bài tập vận dụng
Bài 1. Một vật m =100 g thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa được mô tả bởi đồ thị như hình vẽ. Lực kéo về cực đại tác dụng lên vật gần giá trị nào nhất
A. 1 N. B. 40 N. C. 10 N. D. 4 N.
t(s)
0
x(cm)
 (2)
 (1)
6
-6
Bài 2. (ĐH 2015): Đồ thi li độ theo thời gian của chất điểm 1 (đường 1) và của chất điểm 2 (đường 2) như hình vẽ, tốc độ cực đại của chất điểm 2 là 4π (cm/s). Không kể thời điểm t=0, thời điểm hai chất điểm có cùng li độ lần thứ 5 là:
A. 4,0 s 	B. 3,25 s 	
C. 3,75 s 	D. 3,5 s
4. Dạng 4: Đồ thị đường sin thời gian và đường sin không gian trong quá trình truyền sóng.
 Phương pháp giải: 
Từ phương trình sóng: ta nhận thấy, u vừa phụ thuộc t vừa phụ thuộc x.
Nếu cố định x = x0 thì u chỉ phụ thuộc t và đồ thị u theo t gọi là đường sin thời gian.
Nếu cố định t = t0 thì u chỉ phụ thuộc x và đồ thị u theo x gọi là đường sin không gian.
	Khi sóng lan truyền thì các phần tử thuộc “sườn trước đi lên” còn các phần tử thuộc “sườn sau đi xuống”.
Chú ý: Sự tương đương giữa đường sin không gian và vòng tròn lượng giác.
 Một số bài toán ví dụ: 
Ví dụ 1: Một sóng ngang truyền trên mặt nước có tần số 10 Hz tại một thời điểm nào đó một phần mặt nước có dạng như hình vẽ. Trong đó khoảng cách từ các vị trí cân bằng của A đến vị trí cân bằng của D là 45 cm và điểm C đang từ vị trí cân bằng đi xuống. Xác định chiều truyền của sóng và tốc độ truyền sóng.
HD: Vì điểm C từ vị trí cân bằng đi xuống nên cả đoạn BD đang đi xuống (BD là sườn sau). Do đó, AB đi lên (AB là sườn trước), nghĩa là sóng truyền E đến A.
Đoạn AD = 3l/4 Þ 45 = 3l/4 Þ l = 60 cm = 0,6 m Þ v = lf = 8 m/s.
Ví dụ 2: Trong khoảng không vũ trụ, một sợi dây mảnh mềm, căng thẳng. Tại thời điểm t = 0, đầu O bằng đầu dao động đi lên (tần số dao động f) (đường 1). Đến thời điểm t = 2/(3f) hình dạng sợi dây có dạng như đường 2 và lúc này khoảng cách giữa O và N đúng bằng 2MP. Tỉ số giữa tốc độ dao động cực đại của một phần tử trên dây và tốc độ truyền sóng là
HD: Sau thời gian t1 = 2T/3, sóng truyền được OP = 2l/3 và MP = l/2 Þ OM = l/6 Þ ON = OM + MP/2 = 5l/12.
Tại thời điểm t1, li độ của O và N lần lượt là: uO = -A/2 và uN = A, lúc này khoảng cách giữa O và N là 
Ví dụ 3: Một sóng hình sin đang truyền trên một sợi dây theo chiều dương của trục Ox. Hình vẽ mô tả hình dạng của sợi dây tại thời điểm t1 (đường nét đứt) và t2 = t1 + 0,1 (s) (đường liền nét). Tại thời điểm t2, hãy tính vận tốc của điểm N, điểm M có tọa độ xM = 30 cm và điểm P có tọa độ xP = 60 cm?
HD: Từ hình vẽ ta thấy: Biên độ sóng A = 4 cm. Từ 30 cm đến 60 cm có 6 ô nên chiều dài mỗi ô là (60 – 30)/6 = 5 cm. Bước sóng bằng 8 ô nên l = 8.5 = 40 cm. Trong thời gian 0,1 s sóng truyền đi được 3 ô theo phương ngang tương ứng quãng đường 15 cm nên tốc độ truyền sóng . Chu kì sóng và tần số góc: T = l/v = 4/15 s; w = 2p/T = 7,5p (rad/s).
Tại thời điểm t2, điểm N qua vị trí cân bằng và nằm ở sườn trước nên nó đang đi lên với tốc độ cực đại, tức là vận tốc của nó dương và có độ lớn cực đại: vmax = wA = 7,5p.4 = 30p cm/s.
Điểm M thuộc sườn trước (vM > 0) và MN = 5 cm nên
.
Điểm P thuộc sườn sau (vM < 0) và PN = 25 cm nên
.
Ví dụ 4: Sóng dừng trên sợi dây đàn hồi OB chiều dài L mô tả như hình bên. Điểm O trùng với gốc tọa độ của trục tung. Sóng tới điểm B có biên độ a. Thời điểm ban đầu hình ảnh sóng là đường (1), sau thời gian Dt và 5Dt thì hình ảnh sóng lần lượt là đường (2) và đường (3). Tốc độ truyền sóng là v. Tốc độ dao động cực đại của điểm M là
HD: Vì trên dây có hai bụng sóng nên: L=2l/2=v/T Þ T= v/L.
Theo bài ra: tEI = Dt; tIJ = 4Dt; tJK = Dt Þ T/2 = tEK = tEI + tIJ + tJK = 6Dt Þ Dt = T/12. Vì sóng vừa tuần hoàn theo thời gian với chu kì T vừa tuần hoàn theo không gian với khoảng cách lặp l nên tEI = T/12 Û IM = l/12.
Biên độ dao động tại M: 
Tốc độ dao động cực đại của điểm M: 
Ví dụ 5: Trên một sợi dây OB căng ngang, hai đầu cố định đang có sóng dừng với tần số f xác định. Gọi M, N và P là ba điểm trên dây có vị trí cân bằng cách B lần lượt là 4 cm, 6 cm và 38 cm. Hình vẽ mô tả hình dạng sợi dây tại thời điểm t1 (đường 1) và (đường 2). Tại thời điểm t1, li độ của phần tử dây ở N bằng biên độ của phần tử dây ở M và tốc độ của phần tử dây ở M là 60 cm/s. Tại thời điểm t2, vận tốc của phần tử dây ở P là
HD: Bước sóng: l = 36 – 12 = 24 cm; Biểu thức sóng dừng khi chọn nút làm gốc:
*Điểm N là bụng vì cách nút B là 6 cm = l/4; 
*Biên độ lại M: 
*Tại hai điểm P, M cùng 1 thời điểm:
*Tại cùng 1 điểm M ở hai thời điểm: 
Vì nên tại thời điểm t1 điểm N có li độ và đang đi xuống. Tức là tại thời điểm t1 pha của M và N là và pha tại thời điểm t2 là 
. 
 4.3. Bài tập vận dụng:
Bài 1: Hình bên biểu diễn