SKKN Giúp học sinh khá, giỏi ôn luyện các dạng bài tập phần giao thoa sóng ánh sáng có nhiều bức xạ

A. MỞ ĐẦU:
1. Lí do chọn đề tài:
 Giao thoa ánh sáng là một hiện tượng đặc trưng cho tính chất sóng của ánh sáng, đây là phần kiến thức khá quan trọng trong chương trình vật lý lớp 12. Có thể nói trong đề thi môn vật lý ở các kỳ thi quốc gia như thi tốt nghiệp THPT, thi đại hoc, cao đẳng, thi THPTQG thì phần kiến thức của giao thoa ánh sáng Y-âng là rất ít khi không gặp. Đặc biệt là phần giao thoa sóng ánh sáng đa sắc rất hay gặp trong đề thi ĐH - THPT QG. Qua theo dõi các đề thi đại học, cao đẳng và học sinh giỏi tỉnh của nhiều năm tôi nhận thấy một điều là hầu như câu hỏi “gây khó”của chương sóng ánh sáng người ra đề đều chọn phần giao thoa có nhiều bức xạ và thực tế đã gây không ít khó khăn cho hầu hết các thí sinh. 
 Nếu như chỉ để giải các bài tập giao thoa với một bức xạ thì nó không có gì là khó đối với một học sinh có lực học trung bình (các em chỉ cần nắm chắc kiến thức cơ bản là có thể làm được). Kinh nghiệm giảng dạy cho thấy rằng với những bài toán giao thoa có nhiều bức xạ do có sự trùng nhau giữa các vân giao thoa thì bài toán trở nên phức tạp hơn rất nhiều và hầu hết học sinh lớp 12 đều chưa có một phương pháp tổng quát nào khi giải quyết loại bài tập này, hoặc nếu có làm được thì cũng không có tính tổng quát, chưa nắm được bản chất thực sự của vấn đề; chỉ cần thay đổi một vài dữ kiện của bài toán thì học sinh thường lúng túng và không làm được. 
2. Mục đích nghiên cứu:
 Với mục đích nhằm góp phần nâng cao chất lượng ôn thi học sinh giỏi cũng như chất lượng đại học cao đẳng tôi đã cố gắng tìm tòi các kiến thức từ nhiều tài liệu khác nhau từ đó tổng hợp và biên soạn thành tài liệu hướng dẫn học sinh ôn tập và nhận thấy có hiệu quả cao vì vậy tôi đúc rút và viết thành đề tài sáng kiến kinh nghiệm có tên:“ Giúp học sinh khá, giỏi ôn luyện các dạng bài tập phần giao thoa sóng ánh sáng có nhiều bức xạ’’
3. Đối tượng nghiên cứu:
 Các dang bài tập và phương pháp giải các dạng bài tâp về giao thoa ánh sáng có nhiều bức xạ.
4. Phương pháp nghiên cứu:
 Trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng một số phương pháp sau :
Phương pháp điều tra giáo dục.
Phương pháp quan sát sư phạm.
Phương pháp thống kê, tổng hợp, so sánh.
Phương pháp mô tả.
B. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
I. CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
 Đối với môn vật lý ở trường phổ thông, bài tập vật lý đóng một vai trò hết sức 
quan trọng, việc hướng dẫn học sinh làm bài tập Vật lý là một hoạt động dạy học, một công việc khó khăn, ở đó bộc lộ rõ nhất trình độ của người giáo viên vật lý trong việc hướng dẫn hoạt động trí tuệ của học sinh, vì thế đòi hỏi người giáo viên và cả học sinh phải học tập và lao động không ngừng. Bài tập Vật lý sẽ giúp học sinh hiểu sâu hơn những quy luật vật lý, những hiện tượng vật lý. Thông qua các bài tập ở các dạng khác nhau tạo điều kiện cho học sinh vận dụng linh hoạt những kiến thức để tự lực giải quyết thành công những tình huống cụ thể khác nhau thì những kiến thức đó mới trở nên sâu sắc hoàn thiện và trở thành vốn riêng của học sinh. Trong quá trình giải quyết các vấn đề, tình huống cụ thể do bài tập đề ra học sinh phải vận dụng các thao tác tư duy như so sánh phân tích, tổng hợp khái quát hoá....để giải quyết vấn đề, từ đó sẽ giúp giải quyết giúp phát triển tư duy và sáng tạo, óc tưởng tượng, tính độc lập trong suy nghĩ, suy luận.... Nên bài tập Vật lý gây hứng thú học tập cho học sinh.
 Đối với phần kiến thức về “Giao thoa sóng ánh sáng với nhiều bức xạ” tôi thấy việc phân dạng, chỉ rõ điểm mấu chốt của vấn đề sẽ giúp học sinh, đặc biệt là học sinh giỏi không chỉ nắm vững kiến thức phần đã học mà còn có thể vận dụng sáng tạo vào giải quyết tốt các bài toán tương tự.
II. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
1. Thuận lợi 
 Trong quá trình giảng dạy, khi tìm hiểu tâm tư nguyện vọng của một số học
sinh lớp 12 tôi được biết có rất nhiều học sinh thích học môn vật lí, nhiều học sinh có nguyện vọng thi vào đại học khối A và khối A1.
 Theo cấu trúc của chương trình và sách giáo khoa vật lí lớp 12 thì trước khi học phần giao thoa sóng ánh sáng, học sinh đã được học phần giao thoa sóng cơ (là một phần kiến thức có thể được coi là nền tảng là cơ sở để các em tiếp cận phần giao thoa ánh sáng). 
2. Khó khăn:
 Là một giáo viên khi dạy bài tập giao thoa ánh sáng, tôi thấy sách giáo khoa chỉ đề cập đến sự giao thoa của một ánh sáng đơn sắc với số lượng bài tập không nhiều và còn đơn giản trong khi đó các bài tập phần này rất đa dạng và thường xuất hiện nhiều trong các đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông, đại học, cao đẳng. Khi gặp các bài toán thuộc dạng giao thoa sóng ánh sáng đa sắc thì học sinh thường lúng túng không biết cách giải hoặc phải mất rất nhiều thời gian cho một bài, trong khi thời gian dành cho mỗi câu trong các đề thi trắc nghiệm lại rất ngắn. Thực tế phần bài tập về giao thoa ánh sáng nhiều bức xạ dành cho đối tượng học sinh khá, giỏi thì có rất ít các tài liệu hướng dẫn một cách hệ thống; do vậy trong qúa trình giảng dạy việc tổng hợp kiến thức, phân chia dạng toán, hướng dẫn cụ thể là việc làm vô cùng quan trọng của mỗi người giáo viên; bởi có làm như vậy mới giúp học sinh hiểu rõ bản chất của vấn đề và vận dụng làm bài tập một cánh có hiệu quả. 
III. CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:
 Từ thực tế như trên tôi đã đề ra một số giải pháp khắc phục như sau:
1. Các yêu cầu chung: 
 Trước khi giảng dạy tiết bài tập phần giao thoa sóng ánh sáng có nhiều bức
xạ, tôi đã yêu cầu học sinh phải nắm chắc các kiến thức cơ bản của dạng bài tập
giao thoa với một bức xạ, bao gồm:
Xác định khoảng vân.
Xác định vị trí vân sáng vân tối trên trường giao thoa.
Xác định số vân sáng vân tối trên trường giao thoa.
Xác định số vân sáng, vân tối trên đoạn MN thuộc giao thoa trường.
Mặt khác tôi tiến hành nghiên cứu, phân loại các dạng bài tập về giao thoa
sóng ánh sáng có nhiều bức xạ, thiết lập một số công thức tổng quát; đồng thời cũng yêu cầu học sinh thiết lập các công thức hệ quả cho từng loại bài toán qua đó học sinh sẽ nắm vững bản chất của từng loại toán.
2. Biện pháp phân loại bài tập và thiết lập công thức tổng quát theo từng dạng.
 Để học sinh nắm vững được phần kiến thức cần tiếp nhận tôi đã thực hiện theo quy trình như sau: 
 Bước 1: Hệ thống lại các kiến thức cơ bản của phần giao thoa khe Young với một bức xạ.
 Bước 2: Phân loại các dạng bài tập về giao thoa khe Young với nhiều bức xạ (nêu rõ kiến thức trọng tâm của mỗi dạng toán)
 Bước 3: Hướng dẫn học sinh làm một số bài tập ví dụ cụ thể về mỗi dạng toán
 Bước 4: Sau mỗi dạng toán rút ra những lưu ý cho học sinh cần ghi nhớ những chỗ mà học sinh thường hay mắc phải nhầm lẫn.
 Bước 5: Đưa ra các bài toán để học sinh tự rèn luyện thêm nhằm nâng cao kĩ năng giải toán.
2.1 Kiến thức cơ bản về giao thoa ánh sáng với khe Young 
a. Khoảng vân, vị trí vân sáng, vân tối.
 + Khoảng vân : i = (1)
 + Vị trí vân sáng: xs = k = ki (với k = 0, ± 1, ± 2 ...) (2) 
 + Vị trí vân tối: xt = (2k + 1) = (2k +1) (với k = 0, ± 1, ± 2 ...) (3) .
 Hay xt = (k + 0,5) = (k+0,5)i (với k = 0, ± 1, ± 2 ...) (4) 
Hình 1. Vị trí các vân giao thoa
Tối thứ 1, k= -1
Tối thứ 3, k=2
Tối thứ 4, k=3
Tối thứ 5, k= 4
Tối thứ 2, k= -2
Tối thứ 2, k=1
Tối thứ 3, k= -3
Tối thứ 4, k= -4
i
i
i
i
Vân sáng TT, k= 0
Sáng bậc 1, k= -1 bậc 1
Sáng bậc 2, k=2, bậc 2
Sáng bậc 3, k=3, bậc 3
Sáng bậc 4, k=4, bậc 4
Sáng bậc 2, k= -2 bậc 2
Sáng bậc 1, k=1, bậc 1
Sáng bậc 3, k= -3 bậc 3
Sáng bậc 4, k= - 4 bậc 4
Tối thứ 1, k= 0
Tối thứ 5, k= -5
b. Số vân sáng, vân tối trên trường giao thoa khi hai khe Y– Âng được chiếu bởi một bức xạ:
b.1. Một số kiến thức liên quan:
 - Điều kiện để một điểm M tọa độ xM thuộc trường giao thoa có bề rộng L:
 - £ xM £ (5) 
 - Điều kiện để một điểm M tọa độ xM nằm trên đoạn PQ khi biết tọa độ xP và xQ là: xP £ xM £ xQ (Với xQ > xP) (6)
b.2. Số vân sáng, vân tối trên trường giao thoa khi hai khe Y–âng được chiếu bởi một ánh sáng đơn sắc:
 - Số vân sáng: 
 + Vị trí vân sáng xs = ki (với k = 0, ± 1, ± 2 ...) (7) 
 + Vân sáng nằm trên trường giao thoa nên: 
 - £ xs £ Þ - £ k £ (với k = 0, ± 1, ± 2 ...) (8) 
(Số giá trị của k chính là số vân sáng cần tìm)
 - Số vân tối:
 + Vị trí vân tối: xt = (k + 0,5)i (với k = 0, ± 1, ± 2 ...) (9) 
 + Vân tối nằm trên trường giao thoa nên:
 - £ xt £ Þ - - £ k £ - (với k = 0, ± 1, ± 2 ...) (10) 
(Số giá trị của k chính là số vân tối cần tìm)
b.3. Số vân sáng, vân tối trên đoạn PQ khi hai khe Y–âng được chiếu bởi một bức xạ:
 - Số vân sáng: £ k £ (Với xQ > xP) (11)
 - Số vân tối: £ k + 0,5 £ (Với xQ > xP).
c. Khoảng cách giữa n vân sáng liên tiếp (hoặc n vân tối liên tiếp) là: 
 d = (n - 1)i hay n = + 1 (12)
2.2. Các dạng toán
 Trong quá trình giảng dạy phần này, trước khi đi cụ thể đối với từng loại bài tập tôi đã định hướng học sinh một cách tổng quát nhất, đó là kĩ năng phân tích đề bài. Đối với mỗi bài toán phần này cần chia làm các phần (phần bản chất Vật lý, phần kĩ năng biến đổi toán học và những lưu ý về các cách hiểu khác khi làm bài)
 Về phần bản chất vật lý : Nếu hai khe Y-âng được chiếu bởi không chỉ là một bức xạ mà là hai hay nhiều bức xạ thì :
 + Mỗi ánh sáng đơn sắc cho một hệ vân riêng.
 + Tại vị trí trung tâm là sự trùng nhau của tất cả các vân sáng của các bức xạ đơn sắc ứng với k = 0. Vạch sáng trung tâm sẽ có một màu nhất định.
 + Do bước sóng của các bức xạ khác nhau nên khoảng vân khác nhau do vây bắt đầu từ vân bậc 1 về hai bên vân trung tâm, chúng sẽ lệch nhau.Tuy nhiên sẽ có sự trùng nhau giữa: vân sáng của hệ này với vân sáng của hệ kia; vân tối của hệ này với vân tối của hệ kia; vân sáng của hệ này với vân tối của hệ kia; vân tối của hệ này với vân sáng của hệ kia. 
 Sau đây tôi xin đưa ra cách giải một số loại bài tập của phần này như sau:
Dạng 1: Dạng toán giao thoa với hai bức xạ :
Loại 1 : Xác định vị trí trùng nhau của hai hệ vân:
a. Hai vân sáng trùng nhau: 
Khi vân sáng của hệ 1 trùng với vân sáng của hệ 2 ta luôn có: xs1 = xs2 
 Þ k1i1 = k2i2 Û = = = (tỉ số tối giản) Þ (10) 
 Þ Vị trí trùng là: xº = k1i1 = pni1 = qni2 (với n = 0, ± 1, ± 2 ...) (11)
b. Hai vân tối trùng nhau:
Khi vân tối của hệ 1 và vân tối của hệ 2 trùng nhau ta luôn có: xt1 = xt2 
 Þ (2k1 + 1) = (2k2 + 1) Û = = = (tỉ số tối giản) 
 (12)
Þ Vị trí trùng là: xº = p (2n + 1) = q (2n + 1 ) (n = 0, ± 1, ± 2 ...) (13) 
c. Vân tối trùng vân sáng:
- Khi vân sáng của bức xạ 1 trùng với vân tối của bức xạ 2 ta luôn có: xs1 = xt2.
Þ k1i1 = (2k2 + 1) Û = = = (tỉ số tối giản).
Þ (14)
Þ Vị trí trùng là: xº = p(2n +1)i1 = q (2n + 1 ) (n = 0, ± 1, ± 2 ...) (15)
- Khi vân tối của bức xạ 1 trùng với vân sáng của bức xạ 2 ta luôn có: xt1 = xs2.
Þ (2k1 + 1) = k2i2 Û = = = (tỉ số tối giản).
Þ (16)
Þ xº = p (2n +1) = q (2n + 1 )i2 (n = 0, ± 1, ± 2 ...) (17)
Loại 2: Xác định số vân sáng trùng nhau
- Xét tai hai điểm A, B trên trường giao thoa là vị trí mà cả hai hệ vân đều cho vân sáng tại đó. 
 + Số vân giao thoa trên đoạn AB của hệ 1: N1 = + 1.
 + Số vân giao thoa trên đoạn AB của hệ 2: N2 = + 1.
Nếu quan sát được trên đoạn AB có N vạch sáng trong đó có Nº vạch là kết quả trùng nhau của hai hệ vân thì tổng số vân giao thoa của hai hệ là: N1 + N2 = N + Nº 
- Số vạch trùng quan sát được trên trường giao thoa L:
 - £ xº £ 
Þ Tìm được số giá trị của n. Số vạch trùng chính là số giá trị n 
 - Xét số vân trùng trên L:
xM £ xº £ xN (xM < xN; x là tọa độ) Tìm được số giá trị của n. Số giá trị n là số vân sáng trùng trên .
Dạng 2 : Dạng toán giao thoa với ba bức xạ
 Trong trường hợp giao thoa có nguồn gồm 3,4,5... bức xạ khác nhau thì khi vân sáng của các hệ trùng nhau thì ta có: xº = xs1 = xs2 = xs3 = xs4 = ...
Þ xº = k1i1 = k2i2 = k3i3 = k4i4 = = knln; với k Î Z. (làm tương tự như trường hợp giao thoa có nguồn gồm hai ánh sáng đơn sắc)
2.3. Các ví dụ cụ thể về các dạng toán đã nêu ở trên:
 Sau đây tôi xin đưa ra một số bài toán ví dụ cụ thể mà tôi nghĩ nó rất cần cho vấn đề nâng cao chất lượng ôn thi đại học cũng như ôn thi học sinh giỏi.
Bài 1: Trong thí nghiệm giao thoa ánh sáng với khe Y-âng, ánh sáng được dùng làm thí nghiệm gồm có hai thành phần đơn sắc có bước sóng l1 = 0,6µm (vàng) và l2 = 0,75µm (đỏ). Khoảng cách giữa hai khe Y-âng là a = 1 mm, khoảng cách từ hai khe đến màn là D = 2 m. Biết bề rộng trường giao thoa là 20 mm.
Mô tả hình ảnh quan sát được trên màn.
Xác định vị trí đầu tiên và vị trí thứ hai trên màn tại đó vân sáng của hai hệ
trùng nhau. 
Xác định khoảng cách từ vân sáng trung tâm đến vân sáng gần nhất cùng
màu với nó.
Hỏi trên trường giao thoa có bao nhiêu vân sáng có màu giống màu của vân
sáng trung tâm . 
Tìm số vân sáng quan sát được trên trường giao thoa (biết tại vị trí hai vân
sáng trùng nhau chỉ được tính là 1 vân)
Xác định số vân sáng đơn sắc đỏ và số vân sáng đơn sắc vàng quan sát được
trên trường giao thoa.
Xác định số vân sáng quan sát được trong khoảng giữa hai vân sáng liên tiếp
có màu của vân sáng trung tâm.
Xác định số vân sáng quan sát được trên đoạn ON = 17,65 mm (Không tính
vân sáng trung tâm).
Tính số vân màu đỏ quan sát được trên đoạn CD, với CO = 5,4 mm, DO =
6,73 mm, C và D nằm ở hai bên vân sáng trung tâm.
 Giải: a. Mô tả hình ảnh quan sát được trên màn:
 Khi dùng cả hai bức xạ vàng và đỏ thì trên màn thu được đồng thời cả hệ vân
đỏ và hệ vân vàng. Do vậy sẽ có sự trùng nhau giữa các vân của hai hệ. Vân trung tâm của hai hệ vân này trùng nhau, tạo ra màu tổng hợp của đỏ và vàng (gọi là vân trùng). Ngoài vị trí trung tâm ra còn có nhiều vị trí khác có vân trùng.
iº 
M
O
Đỏ
Trùng
vàng
Hình. 2
i1
i2
Kết luận: Như vậy trên màn sẽ có 3 loại vân: (Xem hình 2)
Loại 1: Vân sáng đỏ. 
Loại 2: Vân sáng vàng. 
Loại 3: Vân trùng (tổng hợp của vân đỏ và vân vàng)
 b. Khi vân sáng của 2 bức xạ trùng nhau thì:
xº = xs1 = xs2 Þ k1i1 = k2i2 Û = = = (tỉ số tối giản và k1, k2 Z) 
Þ (với n Î z) Þ Vị trí trùng giữa hai vân sáng của hai hệ là: 
 xº = xs1 = k1i1 = 5n. Þ xº = 6n (mm) (với n = 0, ± 1, ± 2 ...)
+ Vị trí trung tâm là một vị trí trùng ứng với n = 0 (k1 = k2 = 0) Þ xº 0 = 0
+ Vị trí trùng đầu tiên ứng với n = ± 1; (k1 = ±5, k2 = ±4) Þ xº 1 = ±6 mm.
+ Vị trí trùng thứ hai ứng với n = ±2; (k1 = ±10, k2 = ±8) Þ xº 2 = ±12 mm.
Kết luận: Vậy vị trí đầu tiên trên màn (kể từ vân trung tâm ) tại đó hai vân sáng
trùng nhau là xº 1 = ±6 mm; vị trí thứ hai trên màn (kể từ vân trung tâm ) tại đó hai vân sáng trùng nhau là xº 2 = ±12 mm. 
 c. Khoảng cách từ vị trí trung tâm đến vân sáng gần nhất cùng màu với nó chính 
là khoảng cách giữa hai vị trí trùng kế tiếp nhau và được gọi là iº : (là khoảng cách OM trên hình vẽ 2)
Vậy nên: iº = |xº 1 - xº 0| = 6 mm 
Kết luận: Vậy khoảng cách từ vị trí trung tâm đến vân sáng gần nhất cùng màu với 
nó chính là iº = 6 mm.
 d. Số vân sáng có màu giống vân sáng trung tâm chính là số vân trùng trên trường giao thoa (Nhưng không được tính vị trí trung tâm).
Từ kết quả (câu 1.b) ta đã có: xº = 6n (n = 0, ± 1, ± 2 ...)
Vì xt nằm trên trường giao thoa nên áp dụng công thức (5) ta có: 
- £ xº £ Û - £ 6n £ Û - 1,67 £ n £ 1,67 (n = 0, ± 1)
Kết luận: Vậy có N º = 2 vị trí trên trường giao thoa có vân sáng có màu giống vân sáng trung tâm (không tính vị trí trung tâm nên bỏ giá trị n = 0 đi).
Lưu ý: Trong các đề thi, đặc biệt là đề thi Đại học với câu hỏi trắc nghiệm khách quan học sinh cần đọc kĩ đề để phân biệt số vân sáng cùng màu với vân trung tâm và số vị trí trùng ( Trong trường hợp này nếu tính cả vân trung tâm chúng ta sẽ có Ntrùng hệ = 03 vân trùng, tức là 3 vị trí trùng).
 e. i 1 = = 0,6.2 = 1,2 mm; i2 = = 0,75.2 = 1,5 mm.
 - Số vân sáng của hệ 1 trên trường giao thoa là: 
Áp dụng công thức (8) ta có: - £ k1 £ Û - £ k1 £ 
 Û - 8,3 3 £ k1 £ 8,33 (k1 = 0; ± 1;....± 8)
Vậy có Nsl 1 = 17 vân sáng của bức xạ l1 trên L.
 - Số vân sáng của hệ 2 trên trường giao thoa:
Áp dụng công thức (8) ta có: - £ k2 £ Û - £ k2 £ 
 Û - 6,67 £ k2 £ 6,67 (k2 = 0; ± 1;....± 6)
Vậy có Nsl 2 = 13 vân sáng của bức xạ l2 trên L.
 - Số vạch sáng quan sát được trên L là: N = Nsl 1 + Nsl 2 - Ntrùng hệ
 = 17 +13 - 3 = 27 
 f. - Số vân sáng đơn sắc vàng quan sát được trên trường giao thoa là:
 N1 = Nsl 1 - Ntrùng hệ = 17 - 3 = 14 
 - Số vân sáng đơn sắc đỏ quan sát được trên trường giao thoa là:
 N2 = Nsl 2 - Ntrùng hệ = 13 - 3 = 10
Kết luận: Vậy trên trường giao thoa quan sát được 24 vân sáng đơn sắc (trong đó có 14 vân sáng màu vàng và 10 vân sáng màu đỏ) 
 g. Vị trí trùng nhau đầu tiên ứng với n = ±1 (k1 = ±5; k2 = ±4). Như vậy trong khoảng giữa vị trí trung tâm và vị trí trùng nhau đầu tiên sẽ có 4 vân sáng màu vàng và 3 vân sáng màu đỏ (xem hình 2)
Kết luận: Vậy trong khoảng giữa hai vân sáng liên tiếp có màu của vân sáng trung 
tâm sẽ có 7 vân sáng (4 vân vàng và 3 vân đỏ) .
 h. - Số vân sáng màu vàng trên đoạn ON là: (không tính vân sáng trung tâm)
Xét = ≈ 14,7 Þ có N1 = 14 vân sáng màu vàng trên đoạn ON
 - Số vân sáng màu đỏ trên đoạn ON là: (không tính vân sáng trung tâm) 
Xét = ≈ 11,77 Þ có N2 = 11 vân sáng màu đỏ trên đoạn ON
 - Số vị trí trùng trên đoạn ON là: (không tính vân trùng trung tâm) 
 Xét = ≈ 2,94 Þ có Nº ON = 2 vị trí trùng trên đoạn ON
Số vân sáng quan sát được trên đoạn ON = 17,65 mm là: 
 NON = N1 + N2 - Nº ON = 14 + 11 - 2 = 23 vân
Kết luận: Vậy trên đoạn ON quan sát được 23 vân sáng.
- Số vân sáng màu đỏ trên đoan CD:
 xC £ xS2 £ xD Þ - 5,4 £ k2 i2 £ 6,73 Þ £ k2 £ 
Þ -3,6 £ k2 £ 4,49 (k2 = 0; ± 1;....± 3; 4)
Vậy trên đoạn CD có 8 vân sáng đỏ
 - Khi có cả ánh sáng vàng, một số vân đỏ tham gia tạo thành vân trùng, nên số vân đỏ giảm đi. Số vân đỏ giảm đi trên đoạn CD chính bằng số vị trí trùng trên đoạn CD ấy:
Số vân trùng trên đoạn CD:
 xC £ xº £ xD Þ - 5,4 £ kº iº £ 6,73 Þ £ kº £ 
Þ -0,9 £ kº £ 1,12 (kº = 0; 1)
Vậy trên đoạn CD có 2 vân trùng
Số vân đỏ trên đoạn CD là: Nđ = 8 - 2 = 6 vân.
Kết luân: Vậy trên đoạn CD có 6 vân sáng màu đỏ. 
Lưu ý: Do C và D ở khác phía so với vân trung tâm nên một điểm sẽ có tọa độ âm và một điểm sẽ có tọa độ dương.
Bài 2: Trong thí nghiệm giao thoa Y-âng thực hiện đồng thời hai bức xạ đơn sắc với khoảng vân trên màn thu được lần lượt là: i1 = 0,5 mm; i2 = 0,3mm. Biết bề rộng trường giao thoa là 5 mm.
Xác định vị trí trên trường giao thoa mà tại đó có vân tối của hệ 1 trùng với
vân tối của hệ 2.
Xác định số vị trí trên trường giao thoa mà tại đó có vân tối của hệ 1 trùng
với vân tối của hệ 2.
Xác định khoảng cách giữa hai vị trí trùng nhau gần nhất giữa vân tối hệ 1
với vân tối của hệ 2.
Xác định số vị trí mà tại đó có vân tối của hệ 1 trùng với vân tối của hệ 2 trên
đoạn MN biết M và N nằm ở hai phía so với vân trung tâm và cách vân trung tâm lần lượt là 2 mm và 1 mm
 Giải: a. Khi vân tối của hai bức xạ trùng nhau thì: 
 xº = xt1 = xt2 Û (2k1 + 1) = (2k2 + 1) Þ = = (tỉ số tối giản) 
Þ (với n = 0, ± 1, ± 2 ...) 
 Þ Vị trí trùng: xº = xt1 = 3(2n + 1) = (2n + 1) mm (với n = 0, ± 1, ± 2 ...) 
Kết luận: Vị trí trùng giữa vân tối của hệ 1 và vân tối của hệ 2 được xác định bởi công thức: xº = (2n + 1) mm (Với n = 0, ± 1, ± 2 ...).
Lưu ý: Luôn tìm được vị trí vân sáng trùng nhau nhưng có những trường hợp không tìm được vị trí vân tối trùng nhau ( ví dụ: = = )
 b. xº nằm trên trường giao thoa nên áp dụng công thức (5) ta có: 
- £ xº £ Û - £ (2n + 1) £ 
Û - £ (2n + 1) £ Û - 2,167 £ n £ 1,167 (n = -2, -1, 0, 1)
Kết luận: Vậy có 4 vị trí trên trường giao thoa mà tại đó có vân tối của hệ 1 trùng với vân tối của hệ 2.
 c. Khoảng cách giữa hai vị trí trùng nhau gần nhất là khoảng cách giữa vị trí trùng nhau ứng với n = 0 và n = ±1.
 iº = |xº 1 - xº 0| = - = 1,5 mm
Kết luận: Vậy khoảng cách giữa hai vị trí trùng nhau gần nhất là iº = 1,5 mm.
 d. Để xº nằm trên đoạn MN thì áp dụng công thức (6) ta có:
-xM £ xº £ xN Û -2 £ (2n + 1) £ 1 Þ -1,833 £ n £ 0,167 (n = -1; 0) 
Kết luận: Vậy trên đoạn MN có 2 vị trí mà tại đó vân tối của hệ 1 trùng với vân tối của hệ 2.
Bài 3: Trong thí nghiệm giao thoa Y-âng thực hiện đồng thời bởi hai bức xạ đơn 
sắc với khoảng vân trên màn thu được lần lượt là: i1 = 0,5 mm; i2 = 0,4 mm. Biết bề 
r