SKKN Các phương pháp làm bài tập về đồ thị trong dao động cơ

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
TRƯỜNG THPT LÊ HOÀN
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 CÁC PHƯƠNG PHÁP LÀM BÀI TẬP VỀ ĐỒ THỊ TRONG DAO ĐỘNG CƠ
Người thực hiện: Trần Quốc Cường
Chức vụ: Giáo viên
 SKKN thuộc môn : Vật lý
THANH HOÁ NĂM 2019
 MỤC LỤC
 NỘI DUNG
TRANG
Phần 1: Mở đầu.
1.1 Lý do chọn đề tài.	.2 Mục đích đối tượng	 
1.3 Đối tượng nghiên cứu.
1.4 Phương pháp nghiên cứu.
 Phần2: Nội dung	 
2.1 Từ đồ thị tìm các đại lượng có liên quan.
2.1.1: Phương pháp dùng các mốc thời gian
2.1.2 Phương pháp dùng giao điểm, tìm độ lệch pha của hai dao đông.
2.1.3 Các dạng đồ thị cùng tần số.
2.1.3.1. Đồ thị hai dao động cùng pha.
2.1.3.2. Đồ thị hai dao động Ngược pha.
2.1.3.3. Đồ thị hai dao động Vuông pha.
2.2 Vẽ đồ thị để giải các bài toán trong dao động điều hòa.
2.2.1 Xét bài toán.
2.2.2. Phương pháp đồ thị.
a. Ưu điểm của phương pháp đồ thị
b. Nhược điểm của phương pháp đồ thị.
2.2.3 Một số bài tập vận dụng.
Phần 3 : Kết luận và kiến nghị.	 
1
1
1
1
2
2
4
6
9
9
11
14
15
15
16
16
16
18
19
1. Mở đầu.
1.1. Lý do chọn đề tài:
 Vật lý phổ thông có vai trò quan trọng trong việc hình thành và phát triển tư duy học sinh. Trong quá trình dạy học người thầy luôn phải đặt ra cái đích đó là giúp học sinh nắm được kiến thức cơ bản, hình thành phương pháp kỹ năng kỹ xảo, tạo thái độ và động cơ học tập đúng đắn để học sinh có khả năng tiếp cận chiếm lĩnh những nội dung kiến thức mới theo xu thế thời đại.
 Hiện nay trong đề thi đại học các bài tập vật lý chiếm một ưu thế, nó đòi hỏi người học phải có cách nhìn nhận bài toán, kĩ năng xử lý bài toán một cách chuyên nghiệp. Do đó việc hướng dẫn học sinh phân loại nắm vững phương pháp và làm tốt các bài tập là việc cần thiết với giáo viên trên con đường rút ngắn giữa học sinh và trường đại học.
 Bài toán về đồ thị là phần quan trọng trong chương trình vật lý 12 nói chung và trong chương dao động cơ nói riêng, nhưng các bài toán về đồ thị là phần khó đối với các em, làm các em ngại phần này.Trong sách giáo khoa 12 đưa ra đồ thị trong dao động cơ nhưng rất sơ lược gây khó khăn cho các em khi làm bài tập. Các em chưa tìm ra phương pháp đặc trưng để làm bài tập phần này cũng như chưa ứng dụng dao động trong dao động điều hòa để làm bài tập về thời gian, thời điểm, quãng đường.
 Đề tài : các phương pháp làm bài toán đồ thị trong dao động cơ giúp các em hình thành phương pháp để làm bài tập, giúp các em hiểu, làm bài tập tốt hơn.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
 Đồ thị dao động là phần khó và rắc rối với các em, làm các em ngại học. Đề tài các phương pháp đồ thị giúp các em nhận dạng các loại đồ thị: cùng pha, vuông pha, ngược pha. Các em hiểu được và vận dụng các thông số của đồ thị để giải các bài tập, các em hình thành được phương pháp, kỹ thuật để giải bài toán đồ thị trong dao động cơ: đó là phương pháp sử dụng giao điểm, tìm độ lệch pha... Từ đó các em yêu thích và tìm tòi khám phá thêm các phần khác của đồ thị và phần khác của vật lí.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
 Đề tài phương pháp đồ thị trong dao động cơ nghiên cứu:
 - Các phương pháp dùng mốc thời gian, phương pháp dùng giao điểm, tìm độ lệch pha của các dao động cơ để giải các bài toán về đồ thị trong dao động điều hòa.
 - Nhận dạng đồ thị: đồ thị của các dao động cùng pha, ngược pha, vuông pha. Đặc điểm của từng loại và áp dụng công thức để làm bài tập.
 - Phương pháp vẽ đồ thị giải các bài toán thời gian và quãng đường trong dao đông, ưu điểm và nhược điểm của phương pháp đồ thị so với phương pháp dùng giản đồ véc tơ và phương pháp lượng giác.
 1.4. phương pháp nghiên cứu:
 Đề tài sử dụng phương pháp: nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết, phương pháp xử lý số liệu.
2. Nội dung.
2.1. Từ đồ thị dao động xác định các đại lượng.
 Ta biết các đại lượng : li độ, vận tốc, gia tốc, điện áp tức thời, dòng điện tức thời, điện tích tức thời biến thiên điều hòa theo thời gian, ta có thể biểu diễn các đại lượng trên bằng đồ thị hàm sin.
Đồ thị dao động điều hòa của các đại lượng như: li độ, vận tốc, gia tốc, lực hồi phục, điện áp tức thời, dòng điện tức thời, điện tích tức thời phụ thuộc thời gian có dạng như hình vẽ.
O
M0
t (s)
m
−M0
m0
Trong đó: 	M0 và −M0 là các giá trị biên của đại lượng.
	m0 là giá trị ban đầu của đại lượng.
Nhận biết khoảng thời gian cơ bản trong đồ thị dao động điều hòa:
1/4 chu kì dao động
1/2 chu kì dao động
1 chu kì dao động
1 chu kì dao động
1/2 chu kì dao động
1/2 chu kì dao động
Nhận biết các mốc thời gian cơ bản được biểu diễn trên đồ thị:
	Tại thời điểm t1: dao động có qua VTCB theo chiều âm.
	Tại thời điểm t2: dao động có giá trị âm và đang giảm.
	Tại thời điểm t3: dao động có giá trị là biên âm.
	Tại thời điểm t4: dao động có giá trị âm và đang tăng.
	Tại thời điểm t5: dao động có qua VTCB theo chiều dương.
	Tại thời điểm t6: dao động có giá trị dương và đang tăng.
	Tại thời điểm t7: dao động có giá trị cực đại (biên dương).
	Tại thời điểm t8: dao động có giá trị dương và đang giảm.
 Bài toán cho đồ thị yêu cầu ta tìm các đại lượng có liên quan. Nếu các bài toán cho rõ các thông số về biên độ, chu kỳ pha ban đầu ngay trên đồ thị ta dễ dàng viết được dựa trên nguyên tắc sau:
- Xác định biên độ dựa vào khoảng cách từ đỉnh đồ thị đến đường cân bằng với chú ý:
 + Nếu hai đường biên song song với đường cân bằng thì biên độ là khoảng cách từ đỉnh đến đường cân bằng( truc thời gian)
 + Nếu hai đường biên không song song thì xác định hàm của đường biên cũng chính là hàm của biên độ theo biến.
- Xác định chu kì: ta căn cứ vào sự lặp lại của đồ thị từ đó xác định chu kì, tần số góc( có thê kết hợp đường tròn lượng giác để xác định góc quét). 
- Xác định pha ban đầu : Dựa vào giao điểm của trục tung với đồ thị với lưu ý
 + Đồ thị đi lên thì vận tốc (v) dương, pha ban đầu (φ) âm, Và ngược lại [1].
 Ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 1: Một chất điểm dao động điều hòa có đồ thị biểu diễn 
sự phụ thuộc vào thời gian của li độ như hình vẽ . 
Phương trình dao động của vật là:
A.	B. 
C. 	D. [2]. 
Giải: Từ đồ thị ta dễ dàng thấy:
- A= 10cm ,T=1s
- t=0 ; x=-5, x giảm => Acosφ =-5 => cosφ =-1/2 => φ =+2π/3 
=>x = 10cos 
 Nếu trên đồ thị không cho rõ các thông số về biên độ, chu kì, pha ban đầu.. ta dùng một số phương pháp sau:
2.1.1 Phương pháp dùng các mốc thời gian.
 Để xác định được chu kì, pha ban đầu khi biết các thời điểm khác nhau trên đồ thị, ta dùng các mốc thời gian này biểu diễn trên đường tròn lượng giác, từ đó tìm chu kỳ và pha ban đầu.
Ví dụ 1: Một chất điểm dao động điều hòa. Đồ thị biểu diễn li độ phụ thuộc thời gian như hình vẽ bên. Viết phương trình dao động của li độ.
	−5
O
5
5/12
2/3
t (s)
x (cm)
Giải:
Ta quan sát thấy đề cho ta A = 5 cm → ta cần đi tìm ω và φ0.
Trên đồ thị có hai mốc thời gian là 5/12 s và 2/3 s tương ứng với x = 5 cm và x = 0 cm.
Nhưng để cần tìm được φ0 ta cần biết tại thời điểm ban đầu t = 0, ta cần tìm được vị trí của chất điểm.
Dựa vào đồ thị ta thấy tại t = 0, chất điểm có li độ âm là x0 và đi theo chiều dương.
5
−5
O
x0
t = 2/3 s
t = 0
t = 5/12 s
α
	Bước 1: Ta biểu diễn tất cả các mốc thời gian lên VTLG.
	Bước 2: Nhóm 2 mốc thời gian bất kì lại với nhau để giải. (nên nhóm 2 mốc gần nhau)
Ta nhóm các mốc đặc biệt trước: rad/s.
Tiếp tục: rad.
O
4
x (cm)
0,5
t (s)
3
Vậy cm.
Ví dụ 2: Một chất điểm dao động điều hòa. Đồ thị biểu diễn li độ phụ thuộc thời gian như hình vẽ bên. Viết phương trình dao động của li độ.
	A. cm
	B. cm
	C. cm
	D. cm [3].
Giải:
Tại t = 0,0 s	có x = x0< 0 và đi theo chiều dương.
Tại t = 0,5 s 	có x = A = 4 cm.
Tại t = 3,0 s	có x = −2 = −A/ cm và đi theo chiều dương.
4
−4
O
x0
t = 3 s
t = 0,5 s
α
β
−2√2
t = 0 s
 rad/s.
 rad.
Vậy: cm.
Ví dụ 3: Một chất điểm dao động hòa trên trục Ox, đồ thị biểu diễn li độ của chất điểm phụ thuộc vào thời gian như hình vẽ bên. Phương trình dao động của chất điểm là
 A. x = 4cos(πt +5π/6) cm
	B. x = 4cos(πt + π/6) cm
	C. x = 4cos(2πt − π/6) cm
	D. x = 4cos(2πt + 2π/3) cm
Giải:
Tại t = 0 s 	có x = x0< 0 và đi theo chiều âm.
Tại t = s 	có x = = và đi theo chiều dương.
Tại t = s	có x = = và đi theo chiều âm.
4
−4
O
t = 0 s
t = 19/24
α
β
2√2
t = 13/24
 rad/s.
 rad.
Vậy: cm.
2.1.2. Phương pháp dùng giao điểm, tìm độ lệch pha của hai dao đông.
Giao điểm của hai đồ thị là điểm cắt của hai đồ thị. 
Giao điểm của đồ thị chính là vị trí gặp nhau của hai dao động.
Hai dao động gặp nhau có 2 trường hợp xảy ra là gặp nhau cùng chiều và gặp nhau ngược chiều.
x (cm)
t (s)
(1)
(2)
A2
x0
−A1
−A2
O
(2)
(1)
x (cm)
t (s)
A2
−A2
−A1
x0
O
Gặp nhau ngược chiều
Gặp nhau cùng chiều
A1
A2
x0
∆φ
A1
A2
x0
∆φ
Độ lệch pha: 
Độ lệch pha: 
 Khi gặp các bài toán có hai dao động, ta nên nhìn qua xem đề bài có cho vị trí giao điểm của hai đồ thị này không. Nếu cho cho vị trí giao điểm đó bằng một giá trị cụ thể, phải khai thác giao điểm đó. Bằng cách xét giao điểm đó lên vòng tròn lượng giác, rồi vẽ các vectơ quay biểu diễn các dao động.
Ví dụ 1: Một chất điểm thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng tần số có li độ phụ thuộc thời gian được biểu diễn như hình vẽ. Tìm biên độ dao động của chất điểm.
	A. 4 cm
	B. 2 cm
	C. 1 cm
	D. 6 cm
Giải:
Xét giao điểm như hình bên:
4
2
π/3
π/3
O
(1)
(2)
Tại vị trí gặp nhau đó: Dao động (1) theo chiều dương, dao động (2) đi theo chiều âm.
Độ lệch pha dễ dàng tính được là: ∆φ = 2π/3 rad.
Biên độ tổng hợp của chất điểm là: 
 cm.
Chọn A.
Ví dụ 2: Hai chất điểm dao động điều cùng tần số có phương trình li độ phụ thuộc thời gian được biểu diễn như hình vẽ. Tìm khoảng cách xa nhất giữa hai chất điểm trong quá trình dao động.
	A. cm
	B. cm
	C. cm
	D. cm[3].
Giải:
Xét giao điểm như hình bên:
∆φ
2
4
Tại vị trí gặp nhau đó: Dao động (1) đi theo chiều âm và dao động (2). ở biên dương,
Độ lệch pha dễ dàng tính được là: ∆φ = π/3 rad.
Biên độ tổng hợp là: 
 cm.
Chọn B.
Một số bài toán vận dụng 
Bài1: Hai vật nhỏ dao động điều hòa cùng tần số trên trục Ox đồ thị biểu diễn vận tốc của hai vật phụ thuộc thời gian như hình vẽ. Biết rằng s. Vị trí gặp nhau của hai vật nhỏ trong quá trình dao động là
	A. 5 cm	B. 5 cm	
C. 2,5 cm	D. 10 cm
ĐS: C.
Bài 2: Hai chất điểm dao động điều hòa cùng tần số có li độ phụ thuộc thời gian được biểu diễn như hình vẽ. Tại thời điểm t = 0,5 s, tốc độ của chất điểm hai là cm/s. Tìm vị trí gặp nhau của hai chất điểm.
Đáp số: 1,5 cm
2.1.3. Nhận dạng đồ thị.
2.1.3.1. Đồ thị hai dao động cùng pha.
t (s)
O
(1)
x (cm)
(2)
t1
 Đồ thị hai đại lượng cùng pha thuộc dạng cơ bản nhất trong các đồ thị. Ở hình trên, ta biết chất điểm (1) và (2) dao động cùng pha vì tại thời điểm t1, chúng cùng ở vị trí cân bằng và đi theo chiều âm.
Khi đã biết được hai chất điểm dao động cùng pha, ta có thể áp dụng các công thức liên hệ giữa các đại lượng tức thời để giải bài toán[4].
t (s)
x (cm)
A1
A2
−A2
−A1
O
Ví dụ 1: Hai chất điểm dao động điều hòa có đồ thị biểu diễn li độ theo thời gian như hình vẽ. Tại thời điểm t= 0, khoảng cách giữa hai chất điểm là 5 cm. Khoảng cách xa nhất giữa hai chất điểm trong quá trình dao động là bao nhiêu?
Giải:
Từ đồ thị, ta suy ra hai vật dao động điều hòa cùng tần số và cùng pha với biên độ A1 = 2A2.
Tại t = 0, và .
Lại có: cm.
Vì hai chất điểm cùng pha nên chúng cách nhau xa nhất khi ở biên → ∆max = A1 − A2 = 10 cm.
Ví dụ 2: Hai chất điểm dao động điều hòa có đồ thị li độ theo thời gian như hình vẽ. Biên độ dao động của chất điểm (2) là
Giải:
Từ đồ thị, ta suy ra hai vật dao động điều hòa cùng tần số và cùng pha.
→ Tại thời điểm t1 , ta có → A2 = = 3 cm.
Các hệ thức đặc biệt cần nhớ:
Cùng pha: 
Ngược pha: 
Vuông pha: 
Trong đó: c, d là một đại lượng dao động điều hòa.C, D là biên độ của c và d.
Ví dụ 3: Hai chất điểm dao động điều hòa cùng tần số và biên độ có đồ thị li độ (x1) và vận tốc (v2) theo thời gian được biểu diễn chung một hệ trục tọa độ như hình vẽ. Thời điểm chất điểm (1) có li độ 0,5 cm, chất điểm (2) cách vị trí cân bằng một đoạn
	A.2cm
	B.2cm
	C.2cm
 D.4 cm
Giải:
Ta có: A1 = A2 = A.
Từ đồ thị → x1 và v2 là hai đại lượng dao động cùng pha.
→ Tại thời điểm t = s, ta có → → rad/s.
A
−A
O
α
4√3
∆φ
t = 0
t = π/3
Thời điểm t = 0 đến s, góc quay rad.
 cm.
Ta có x1 cùng pha v2, mà x2 vuông pha v2 → x1 vuông pha x2
→ cm.
Ví dụ 4: Hai vật nhỏ dao động điều hòa cùng tần số. Đồ thị biểu diễn li độ của hai vật nhỏ phụ thuộc thời gian được biểu diễn như hình vẽ. Biết rằng t2 − t1 = 5/16 s. Khi thế năng vật một là 25 mJ thì động năng vật hai là 119 mJ. Khi động năng vật hai là 38 mJ thì thế năng vật một là
	A. 88 mJ	B. 98 mJ	
	C. 60 mJ	D. 72 mJ
Giải:
:
Dựa vào đồ thị ta có 3T/4=1,5 → T = 2 s→ ω = π rad/s.
Ta có: Δt = t2 – t1 ứng với góc quay 2α = ωΔt = rad.
suy ra .
Vì hai vật dao động cùng pha nên 
Et1 = 25mJ 
Eđ2’ = 38 mJ Et2’ = E2 – Eđ2’= mJ → Et1 = 88 mJ.
 Chọn A.
2.1.3.2. Đồ thị hai dao động ngược pha.
Nhận dạng: 
t (s)
O
(1)
x (cm)
(2)
Đối với hai dao động ngược pha, tại mọi thời điểm, li độ của hai chất điểm luôn trái dấu nhau (trừ ở vị trí cân bằng). Với hình vẽ bên cạnh, hai dao động (1) và (2) là ngược pha vì tại thời điểm ban đầu, hai chất điểm đều ở vị trí cân bằng và chuyển động ngược chiều nhau.
t (s)
O
x2
x (cm)
x1
2
−4
t1
Ví dụ 1: Hai chất điểm dao động điều hòa có đồ thị li độ theo thời gian như hình vẽ. Tính biên độ dao động của chất điểm (2)
Giải:
Từ đồ thị ta có hai vật dao động điều hòa cùng tần số và ngược pha.
→ Tại thời điểm t1 , ta có →→ A2 = 8 cm.
O
E (J)
t (s)
Et
Eđ
t1
t2
E
E0
Ví dụ 2: Một vật nhỏ khối lượng m g dao động điều với tần số f. Đồ thị biểu diễn giá trị của thế năng và động năng của vật phụ thuộc vào thời gian được mô tả hình vẽ. Biết t2 − t1 = 1 s. Giá trị của f là
	A. 0,5 Hz
	B. 1,0 Hz
	C. 2,0 Hz
	D. 4,0 Hz
Giải:
Ta có, Eđ và Et là hai đại lượng dao động ngược pha.Có biên độ là và VTCB là .
Biểu diễn trên VTLG ta có: s.
Vậy Hz.
Chọn A
Ví dụ 3: Một chất điểm dao động điều hòa có đồ thị biểu diễn giá trị của thế năng và động năng của vật phụ thuộc vào thời gian được mô tả hình vẽ. Cơ năng của chất điểm là 
	A.3,5 J	
	B.5,0 J	
	C.4,5 J	
	D.4,0 J
Giải:
O
E
3
Wt (t1)
Wt (t = 0)
α
∆φ
Gọi thời điểm s; s.
Chu kỳ dao động của thế năng (động năng) là T’
Động năng và thế năng của chất điểm là hai đại lượng dao động ngược pha nhau.
Từ đồ thị, ta có s.
Xét thế năng của chất điểm, từ t = 0 đến t = tương ứng góc quay
 rad.
Suy ra J.
Chọn D.
Một số bài toán vận dụng 
Bài1: Một vật nhỏ khối lượng 500g dao động điều hòa trên trục Ox. Đồ thị biểu diễn giá trị của thế năng và động năng của vật phụ thuộc vào thời gian được mô tả hình vẽ. Độ dài quỹ đạo chuyển động của vật là
	A. 2cm	
	B.4 cm	
	C.8 cm	
	D.16 cm
ĐS: D
Bài2: Hai chất điểm dao động điều hòa có đồ thị biểu diễn li độ theo thời gian như hình vẽ. Biết rằng t2 = 2t1. Tỉ số gần giá trị nào nhất sau đây ?
	A. 0,5
	B. 0,6
	C. 0,7
	D. 0,8
ĐS :A
2.1.2.3. Đồ thị hai dao động vuông pha.
Nhận dạng: 
Thông thường ở loại đồ thị này, sẽ có một thời điểm li độ của một chất điểm bằng 0 thì chất điểm còn lại đang ở vị trí biên. (thời điểm t1 như đồ thị hình vẽ)
O
(1)
x (cm)
t1
(2)
t (s)
Ví dụ 1: Hai chất điểm dao động điều hòa có đồ thị li độ theo thời gian như hình vẽ. Khoảng cách xa nhất giữa hai chất điểm trong quá trình dao động là
	A.2 cm	
	B.8cm	
	C.cm	
	D.cm
Giải:
A1
A2
4
Hai dao động vuông pha và cùng tần số.
Vị trí gặp nhau của hai vật là x0, với |x0| = 4 cm.
Ta có: cm.
Khoảng cách xa nhất giữa hai chất điểm là: cm.
Chọn C.
Ví dụ 2: Hai lò xo giống nhau dao động điều hòa trên trục Ox đều có khối lượng vật nhỏ là 200 g. Lấy mốc thế năng tại vị trí cân bằng và = 10. và lần lượt là đồ thị li độ theo thời gian của con lắc thứ nhất và con lắc thứ hai (hình vẽ). Khoảng cách xa nhất giữa hai con lắc trong quá trình dao động là 50 cm theo phương Ox. Khi con lắc thứ nhất có động năng là 90 mJ thì thế năng con lắc thứ 2 là
	A. 480 mJ	B. 160 mJ
	C. 360 mJ	D. 270 mJ
Giải:
A1
A2
50
24
Theo đồ thị: hai dao động vuông pha. 
Chu kì là T = 1,0 s, hai vật gặp nhau ở vị trí 24 cm.
mặt khác khoảng cách xa nhất giữa hai vật là 50 cm nên = 30 cm và = 40 cm.
Cơ năng con lắc thứ nhất là: mJ.
Cơ năng con lắc thứ hai là: mJ.
Khi con lắc thứ nhất có động năng là 90 mJ → con lắc thứ hai có thế năng là mJ.
 2.2. Vẽ đồ thị để giải các bài toán về dao động điều hòa.
 2.2.1. Ta xét bài toán sau:
Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình: tính bằng cm va t tính bằng giây). Trong một giây đầu tiên từ thời điểm t = 0 chất điểm qua vị trí có li độ x = +1 mấy lần.
 A. 7 lần B. 6 lần C. 4 lần D. 5 lần[5].
Giải:
 Với bài toán này ta có thể giải bằng 3 cách như sau:
 M0
O
 1,5
 1
 - 3
 +3
 M2
 M1
Cách 1:
 Lúc t = 0 chất điểm có li độ đang chuyển động theo chiều âm.
 Sau thời gian 1s chất điểm quét 1 góc 
 ( tương ứng chất điểm chuyển động tròn đều quay 2,5 vòng )
 Vị trí x = +1 xác định bởi 2 điểm M1, M2 trên vòng tròn. Như vậy chất điểm quay 2,5 vòng qua x=+1 là 5 lần.
+1
+1,5
+3
·
·
·
·
·
·
·
·
·
t (s)
x(cm)
- 3
O
0,4
0,8
1
M0
Cách 2: 
 Chu kỳ dao động là: T = 0,4(s)
 Đồ thị hàm 
 Từ đồ thị ta có:
 Số lần chất điểm qua x =+1 là số giao điểm của của hàm và
đường thẳng x=1 trong khoảng thời gian 1(s)= 2T+T/2 
 Từ hình vẽ số lần vật qua x= 1 là : 5 lần.
Cách 3: Vật qua vị trí x=+1 ta có: 
Xắp xếp theo thứ tự tăng dần của t ứng với các giá trị của k ta có: 
 Do t <1 nên có 5 giá trị của t qua x =+1 nên số lần vật qua x = 1 là : 5 lần
 2.2.2. Phương pháp đồ thị( Cách 2): 
 Phương pháp này là sử dụng sự tương giao giữa 2 đồ thị hàm số cụ thể như sau:
 - Vẽ đồ thị hàm với tung độ là 0x (gắn với li độ )
 hoành độ là thời gian t(s)
 - Vẽ đường thẳng x=x0 song song với trục thời gian t với chú ý sau:
 + Đường thẳng x=x0 cắt đồ thị tại điểm nào thì toạ độ điểm đó là (x0, t). Do đó từ đồ thị ta có thể suy ra số lần vật qua vị trí có li độ x0 lần 1, lần 2,lần 3. 
 + Nếu vật chuyển động theo chiều dương ta lấy nhánh đồng biến của trên hình.
 + Nếu vật chuyển động theo chiều âm ta lấy nhánh nghịch biến của trên hình.
 Như vậy phương pháp này có ưu nhược điểm như sau:
 Ưu điểm: Phương pháp đồ thị có ưu điểm trong bài toán xác định số lần vật qua vị trí x0 theo một chiều xác định và bài toán xác định số lần vật qua vị trí x0 trong một khoảng thời gian.
 Phương pháp này học sinh dễ tiếp cận vì kiến thức toán học là chủ yếu.
 Nhược điểm: Phương pháp này sư dụng hầu như các em đều lúng túng ở khâu vẽ đồ thị. Nếu các em đã vẽ được đồ thị chính xác rồi thì bước tiếp theo vô cùng đơn giản với các em. Do đó khi dạy học sinh đối với bài toán có pha ban đầu bằng 0 hoặc bằng +; - nên dùng phương pháp này vì đồ thị của nó vẽ dễ dàng. Đồng thời cách giải này góp phần để các em có thêm hiểu biết về bản chất của dao động điều hòa ở một khía cạnh khác.
 Ví dụ1: Phương trình chuyển động của một vật có dạng đồ thị sau: 
Hãy mô tả chuyển động của vật.
Gốc thời gian được tính từ lúc vật ở đâu.
Trong giây đầu tiên vật qua vị trí x = 1 mấy lần.
Trong giây đàu tiên vật qua vị trí x = 1 theo chiều dương mấy lần.
 Giải:
 a. Đồ thị có dạng hình cosin, vật dao động điều hòa từ 
x = -2(cm) đến x =4(cm) vơí biên độ bằng 3(cm) và tần số góc 
 b. Gốc thời gian 
t = 0 khi vật ở vị trí có tọa độ:
 c. Trong giây đầu tiên đường thẳng x = 1 cắt đồ thị là 5 lần. Do đó trong giây đầu tiên vật qua x = 1 là 5 lần.
 d. Trong giây đầu tiên đường x = 1 cắt đồ thị ở các nhánh đồng biến là 3 lần. Do đó trong giây đầu tiên vật qua x = 1 theo chiều dương là 3 lần.[6]
 Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa với phương trình (cm). Trong khoảng thời gian t =2 (s) kể